Question

Найдите производнуюа) y= 2cosx+ 4sin xб) y=(5-x) cos xв) y=tg x - ctg x

Answer 1

А)Y'=-2sinx+4cosx;
Б)Y'=(x-5)sinx -cosx;
В)Y'=1/cos^2(x)+1/sin^2(x).

Answer 2

Для каждой из данных функций найдем производные.

а) y = 2cos(x) + 4sin(x)

Для нахождения производной данной функции применим правила дифференцирования элементарных функций:

dy/dx = d(2cos(x))/dx + d(4sin(x))/dx

dy/dx = -2sin(x) + 4cos(x)

б) y = (5-x)cos(x)

Используем правило произведения функций (производная произведения равна произведению производных):

dy/dx = d((5-x)cos(x))/dx

dy/dx = (5-x)d(cos(x))/dx + cos(x)d(5-x)/dx

dy/dx = (5-x)(-sin(x)) + cos(x)(-1)

dy/dx = -5sin(x) + x*sin(x) - cos(x)

в) y = tg(x) - ctg(x)

Здесь tg(x) представляет тангенс функции, а ctg(x) представляет котангенс (обратный тангенс). Для нахождения производной используем правило для разности функций:

dy/dx = d(tg(x))/dx - d(ctg(x))/dx

dy/dx = sec^2(x) - (-csc^2(x))

dy/dx = sec^2(x) + csc^2(x)

где sec^2(x) - квадрат секанса, а csc^2(x) - квадрат косеканса. Эти значения можно выразить через функции синуса и косинуса:

dy/dx = (1/cos^2(x)) + (1/sin^2(x))

dy/dx = (sin^2(x) + cos^2(x)) / (cos^2(x)sin^2(x))

Пользуясь тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1, получим:

dy/dx = 1 / (cos^2(x)sin^2(x))