Question

Найти производную\frac{2x+1}{x+2}

Answer 1

$y=\frac{2x+1}{x+2} \\y'=\frac{(2x+1)'(x+2)-(2x+1)(x+2)'}{(x+2)^2} =\frac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2)^2} =\frac{3}{(x+2)^2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции $\frac{2x+1}{x+2}$ по $x$ применим правило дифференцирования частного функций.

Правило: Если $u(x)$ и $v(x)$ - функции, то производная их частного $\frac{u(x)}{v(x)}$ равна

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}.$

Где $u'(x)$ и $v'(x)$ - производные $u(x)$ и $v(x)$ соответственно.

Теперь продифференцируем $\frac{2x+1}{x+2}$:

Пусть $u(x) = 2x + 1$ и $v(x) = x + 2$.

Тогда находим производные:

$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$ (производная константы равна 0, а производная $x$ равна 1).

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 2) = 1$ (производная константы равна 0, а производная $x$ равна 1).

Теперь подставляем все в формулу:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{x+2}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{2 \cdot (x + 2) - (2x + 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}.$

Сокращаем и упрощаем:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{x+2}\right) = \frac{2x + 4 - (2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}.$

Таким образом, производная функции $\frac{2x+1}{x+2}$ равна $\frac{3}{(x + 2)^2}$.