Question

Докажите тождество: (а+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac

Answer 1

$(a+b-c)^2=(a+b-c)(a+b-c)=(a+b-c)\cdot a + (a+b-c)\cdot b + \\ + (a+b-c)\cdot (-c) = a^2+ab-ac+ab+b^2-bc-ac-bc+c^2 = \\ =a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc \\ \\ a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$

Answer 2

Для доказательства тождества (а+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac, начнем с раскрытия квадрата слева:

(а + b - c)^2 = (а + b - c) * (а + b - c).

Теперь раскроем скобки, используя правило распределения (a + b) * c = ac + bc:

(а + b - c)^2 = а * а + а * b - а * c + b * а + b * b - b * c - с * а - с * b + с * с.

Теперь приведем подобные члены:

(а + b - c)^2 = а^2 + аb - ac + ba + b^2 - bc - ac - bc + c^2.

Объединим подобные члены:

(а + b - c)^2 = а^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc.

Таким образом, мы доказали тождество (а + b - c)^2 = а^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc.