Question

Пример 2: докажите тождество. (а+1)3-(а+1)= а (а+1)(а+2). пример 3: докажите тождество (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.

Answer 1

$(a+1)^3-(a+1)=a(a+1)(a+2)\\\\(a+1)^3-(a+1)=(a+1)[(a+1)^2-1]=(a+1)(a^2+2a+1-1)=\\\\(a+1)(a^2+2a)=(a+1)a(a+2)=a(a+1)(a+2)$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\\\(a+b)^2+2(a+b)c+c^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=\\\\a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Answer 2

Пример 2: Начнем с левой стороны тождества: (a+1)3 - (a+1) = (a+1)(a+1)(a+1) - (a+1) = (a+1)(a+1)(a+1-1) = (a+1)(a+1)(a) = a(a+1)(a+2)

Теперь рассмотрим правую сторону: a(a+1)(a+2)

Общий множитель a+1 можно вынести за скобки, получим: a(a+1)(a+2) = a(a+1+1)(a+2) = a(a+2)(a+1) = (a+1)(a+2)(a) = (a+1)3 - (a+1)

Таким образом, мы показали, что левая и правая стороны тождества равны, что и требовалось доказать.

Пример 3: Начнем с левой стороны тождества: (a+b+c)² = (a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Таким образом, мы получили правую сторону тождества. Осталось показать, что она равна левой стороне: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = (a+b+c)²

Это является известным свойством квадрата суммы, что доказывает наше тождество.