Question

Найдите точку максимума функции y=√-92+20x-x^2

Answer 1

√-92+20x-x^2    y'=20-2x/2√(-92+20x-x^2)
20=2x   x=10   ymax=√-92+200-100= √8=2√2

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = √(-92 + 20x - x^2), следует использовать метод дифференцирования. Сначала найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это действительно точка максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x:

y = √(-92 + 20x - x^2)

y' = d/dx √(-92 + 20x - x^2)

Для нахождения производной √u, где u = (-92 + 20x - x^2), используем правило цепочки (chain rule):

(y')^2 = (1/2√u) * u'

y' = u' / (2√u)

Теперь найдем производную u по x:

u = -92 + 20x - x^2

u' = d/dx (-92 + 20x - x^2) = 20 - 2x

Теперь подставим u' обратно в выражение для y':

y' = (20 - 2x) / (2√(-92 + 20x - x^2))

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв y' к нулю:

(20 - 2x) / (2√(-92 + 20x - x^2)) = 0

20 - 2x = 0

20 = 2x

x = 10

Теперь найдем значение y при x = 10:

y = √(-92 + 20 * 10 - 10^2) = √(-92 + 200 - 100) = √8 = 2√2

Таким образом, критическая точка функции находится при x = 10 и y = 2√2.

Шаг 3: Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это точка максимума.

Для этого найдем производную y'' по x:

y'' = d/dx (y')

y'' = d/dx [(20 - 2x) / (2√(-92 + 20x - x^2))]

y'' = (2√(-92 + 20x - x^2) * (-2) - (20 - 2x) * (d/dx(2√(-92 + 20x - x^2)))) / (2√(-92 + 20x - x^2))^2

y'' = (2√(-92 + 20x - x^2) * (-2) - (20 - 2x) * (20 - 2x)') / (2√(-92 + 20x - x^2))^2

y'' = (2√(-92 + 20x - x^2) * (-2) - (20 - 2x) * (-2)) / (2√(-92 + 20x - x^2))^2

y'' = (-4√(-92 + 20x - x^2) + 4(20 - 2x)) / (4(-92 + 20x - x^2))

y'' = (-√(-92 + 20x - x^2) + (20 - 2x)) / (-92 + 20x - x^2)

Теперь подставим x = 10:

y''(x=10) = (-√(-92 + 20 * 10 - 10^2) + (20 - 2 * 10)) / (-92 + 20 * 10 - 10^2)

y''(x=10) = (-√8 + (20 - 20)) / (-92 + 200 - 100)

y''(x=10) = (-√8 + 0) / 8

y''(x=10) = -√8 / 8

Так как y''(x=10) < 0, это означает, что точка x = 10 является точкой максимума.

Итак, точка максимума функции находится при x = 10 и y = 2√2.