Question

Найдите интервалы выпуклости вверх\вниз и точки перегиба функции: y=3x^2+4x^3

Answer 1

y=3x^2+4x^3
 y'=6x+12x²=6x(1+2x)=0  точки перегиба х=0 и х=-1/2

-------------------------- -1/2---------------------------0-------------------------------
            +                                       -                                 +
выпукла вниз                   выпукла вверх             выпукла вниз

Answer 2

Чтобы найти интервалы выпуклости вверх и вниз, а также точки перегиба функции, нужно проанализировать её вторую производную. Вернемся к изначальной функции y = 3x^2 + 4x^3 и найдем первую и вторую производные:

1. Первая производная (получается дифференцированием исходной функции по x): y' = d/dx(3x^2 + 4x^3) = 6x + 12x^2.

2. Вторая производная (получается дифференцированием первой производной по x): y'' = d/dx(6x + 12x^2) = 6 + 24x.

Теперь, чтобы найти интервалы выпуклости, нужно решить уравнение y'' = 0 и проанализировать знак второй производной на разных интервалах.

1. Найдем точки перегиба (точки, где y'' = 0): 6 + 24x = 0 24x = -6 x = -6/24 x = -1/4

Теперь проанализируем интервалы выпуклости на основе знака второй производной:

1. Если y'' > 0, то функция выпукла вверх на этом интервале.
2. Если y'' < 0, то функция выпукла вниз на этом интервале.

Подставим значения x на разных интервалах во вторую производную:

a) x < -1/4: Пусть x = -1. Тогда, y'' = 6 + 24(-1) = 6 - 24 = -18 (отрицательное значение). На этом интервале функция выпукла вниз.

б) x > -1/4: Пусть x = 0. Тогда, y'' = 6 + 24(0) = 6 (положительное значение). На этом интервале функция выпукла вверх.

Таким образом, интервалы выпуклости функции y = 3x^2 + 4x^3 следующие:

• Вниз выпукла на интервале x ∈ (-∞, -1/4).
• Вверх выпукла на интервале x ∈ (-1/4, +∞).

Точка перегиба: x = -1/4

Для дополнительного подтверждения, можно построить график функции, чтобы визуально увидеть точки перегиба и интервалы выпуклости.