Question

2cos^2x - 1 = sinx помогите пожалуйста

Answer 1

2cos²x-1=sinx
2*(1-sin²x)-1=sinx
2-2sin²x-1=sinx
2sin²x+sinx-1=0 
тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:
sinx=t, t∈[-1; 1]
2t²+t-1=0
D=9. t₁=-1, t₂=1/2
обратная замена:
1. t₁=-1. sinx=-1 частный случай. x₁=-π/2+2πn, n∈Z
2. t₂=1/2. sinx=1/2, 
$x= (-1)^{n}*arcsin \frac{1}{2} + \pi n, n$∈Z
$x_{2}= (-1)^{n}* \frac{ \pi }{6} + \pi n, n$∈Z

Answer 2

Для решения уравнения 2cos^2(x) - 1 = sin(x), нужно найти значения x, которые удовлетворяют данному уравнению. Давайте пошагово решим его:

1. Используем тригонометрическую тождества cos^2(x) + sin^2(x) = 1: 2cos^2(x) - 1 = sin(x) 2cos^2(x) - sin^2(x) = sin(x) 2cos^2(x) - sin^2(x) - sin(x) = 0

2. Перепишем cos^2(x) через sin^2(x), используя тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x): 2(1 - sin^2(x)) - sin^2(x) - sin(x) = 0 2 - 2sin^2(x) - sin^2(x) - sin(x) = 0 2 - 3sin^2(x) - sin(x) = 0

3. Теперь заменим sin(x) на переменную t, чтобы получить квадратное уравнение: 2 - 3t^2 - t = 0

4. Приведем квадратное уравнение в стандартную форму: 3t^2 + t - 2 = 0

5. Теперь найдем значения t, решая квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. Для уравнения 3t^2 + t - 2 = 0: a = 3, b = 1, c = -2

   t = (-(1) ± √(1^2 - 4 * 3 * -2)) / 2 * 3 t = (-1 ± √(1 + 24)) / 6 t = (-1 ± √25) / 6 t = (-1 ± 5) / 6

6. Теперь найдем два значения для t: a) t = ( -1 + 5 ) / 6 t = 4 / 6 t = 2/3

   b) t = ( -1 - 5 ) / 6 t = -6 / 6 t = -1

Таким образом, у нас есть два значения t: t = 2/3 и t = -1.

7. Теперь найдем значения x, используя обратные тригонометрические функции. Напомним, что sin(x) = t: a) Когда t = 2/3: x = arcsin(2/3) ≈ 0.7297 радиан ≈ 41.81 градусов (приближенно).

   b) Когда t = -1: x = arcsin(-1) = -π/2 радиан (или -90 градусов).

Таким образом, решением уравнения 2cos^2(x) - 1 = sin(x) являются два значения угла x: около 41.81 градусов и -90 градусов (или -π/2 радиан).