Question

Как найти знаменатель геометрической прогрессии если известно, что сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 516, а первый член равен 12.

Answer 1

$S _{3}=516\\\\ S _{3}= \frac{ b_{1}( q^{3} -1) }{q-1}=516\\\\ \frac{12(q-1)( q^{2}+q+1) }{q-1}=516\\\\ q^{2}+q+1=43\\\\ q^{2} +q-42=0\\\\D= 1^{2}-4*1*(-42)=1+168=169=13 ^{2}\\\\ q_{1} = \frac{-1+13}{2}=6\\\\ q_{2}= \frac{-1-13}{2} =-7$

Answer 2

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии, у нас есть следующая информация:

1. Первый член (a₁) равен 12.
2. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии (S₃) равна 516.

Знаменатель геометрической прогрессии обозначается как q.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом a₁ и знаменателем q вычисляется по формуле:

Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

где n - количество членов прогрессии.

Мы знаем, что сумма трех первых членов равна 516, поэтому S₃ = 516 и a₁ = 12.

Подставим эти значения в формулу и получим:

516 = 12 * (1 - q³) / (1 - q)

Теперь нам нужно решить это уравнение для q. Давайте продолжим:

Перемножим обе стороны уравнения на (1 - q), чтобы избавиться от дроби:

516 * (1 - q) = 12 * (1 - q³)

Раскроем скобки:

516 - 516q = 12 - 12q³

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

12q³ - 516q + 504 = 0

Данное уравнение является кубическим, и его решение может быть достаточно сложным в общем случае. Однако, мы можем заметить, что 12 является корнем этого уравнения:

12 * 12 * 12 - 516 * 12 + 504 = 0

Таким образом, у нас есть один корень: q = 12.

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен 12.