Question

Решите уравнение по теме: Бином Ньютона 5*C^3_n=C^4_n+2

Answer 1

$\displaystyle 5C_n^3=C_{n+2}^4\\\\5* \frac{n!}{3!(n-3)!}= \frac{(n+2)!}{4!(n+2-4)!}\\\\5 \frac{n!}{3!(n-3)!}= \frac{n!(n+1)(n+2)}{3!*4*(n-3)!(n-2)}\\\\ 5\frac{1}{1}= \frac{(n+1)(n+2)}{4(n-2)}\\\\20(n-2)=(n+1)(n+2)\\\\20n-40=n^2+3n+2\\\\n^2-17n+42=0\\\\D=289-168=121=11^2\\\\n_1=3; n_2=14$

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся формулой Бинома Ньютона:

C^k_n = n! / (k! * (n - k)!)

Где C^k_n обозначает число сочетаний из n элементов по k.

Уравнение: 5 * C^3_n = C^4_n + 2

Перепишем формулы для сочетаний:

C^3_n = n! / (3! * (n - 3)!)

C^4_n = n! / (4! * (n - 4)!)

Подставим значения обратно в уравнение:

5 * (n! / (3! * (n - 3)!)) = n! / (4! * (n - 4)!) + 2

Для упрощения, домножим обе части уравнения на 4! * (n - 3)!:

5 * (n! * 4! * (n - 3)!) = n! * (n - 4)! + 2 * 4! * (n - 3)!

Теперь уберем общие множители (n! и 4! * (n - 3)!):

5 * (n - 4) = n + 2 * (n - 3)

Раскроем скобки:

5n - 20 = n + 2n - 6

Соберем переменные с n в одну часть уравнения:

5n - n - 2n = 6 - 20

2n = -14

n = -14 / 2

n = -7

Таким образом, корень уравнения равен n = -7. Проверим его:

C^3_n = C^3_-7 = (-7)! / (3! * (-7 - 3)!) = (-7)! / (3! * (-10)!) = 0 (поскольку факториал отрицательного числа не существует)

C^4_n = C^4_-7 = (-7)! / (4! * (-7 - 4)!) = (-7)! / (4! * (-11)!) = 0 (поскольку факториал отрицательного числа не существует)

Таким образом, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.