Question

Выручайте помогите решить 1+3sinxcosx-5cos^2x=0

Answer 1

$1+3sinxcosx-5cos^2x=0$

$cos^2x+sin^2x+3sinxcosx-5cos^2x=0$

$sin^2x+3sinxcosx-4cos^2x=0$   $| : cos^2a \neq 0$

$tg^2x+3tgx-4=0$

Замена:   $tgx=t$

$t^2+3t-4=0$

$D=3^2-4*1*(-4)=25$

$t_1= \frac{-3+5}{2} =1$

$t_2= \frac{-3-5}{2} =-4$

$tgx=1$                         или           $tgx=-4$

$x= \frac{ \pi }{4} + \pi k,$  $k$ ∈  $Z$        или         $x=-arctg4+ \pi n,$  $n$ ∈  $Z$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение 1 + 3sin(x)cos(x) - 5cos^2(x) = 0.

Для удобства введем замену: пусть z = cos(x), тогда sin(x) = √(1 - z^2).

Теперь подставим замену в уравнение:

1 + 3√(1 - z^2)z - 5z^2 = 0.

Теперь приведем уравнение к квадратному виду, а именно, попробуем выразить z^2 через z.

5z^2 - 3√(1 - z^2)z - 1 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно z:

z = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a,

где a = 5, b = -3√(1 - z^2), c = -1.

z = [3√(1 - z^2) ± √(9(1 - z^2) + 20)] / 10.

Теперь рассмотрим два случая:

1. z = [3√(1 - z^2) + √(9(1 - z^2) + 20)] / 10:

Это уравнение имеет только один корень, который равен приближенно z ≈ 0.6193.

2. z = [3√(1 - z^2) - √(9(1 - z^2) + 20)] / 10:

Это уравнение также имеет один корень, который равен приближенно z ≈ -0.809.

Теперь, чтобы найти значения x, подставим найденные значения z обратно в исходное уравнение.

1. Для z ≈ 0.6193:

cos(x) ≈ 0.6193.

x ≈ arccos(0.6193) ≈ 0.8967 + 2πn, где n - целое число.

2. Для z ≈ -0.809:

cos(x) ≈ -0.809.

x ≈ arccos(-0.809) ≈ 2.4985 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное количество решений, представимых формулами:

x ≈ 0.8967 + 2πn, где n - целое число, или x ≈ 2.4985 + 2πn, где n - целое число.