Question

2sin^2x-3sinxcosx-5cos^2x>0 ,срочно​

Answer 1

Ответ:

$2sin^2x-3sinx\, cosx-5cos^2x>0\ \Big|:cos^2x>0\\\\2tg^2x-3tgx-5>0\ \ ,\ \ D=49\ \ ,\ \ tgx=-1\ \ \ ili\ \ \ tgx=2,5\\\\2(tgx+1)(tgx-2,5)>0\\\\znaki:\ \ +++(-1)---(2,5)+++\\\\tgx\in (-\infty ;-1\ )\cup (\ 2,5\ ;+\infty )\\\\a)\ \ tgx$

$Otvet:\ x\in \Big( -\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ;\ -\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ \Big)\cup \Big(\ arctg2,5+\pi n\ ;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi n\ \Big)\ ,\ n\in Z\ .$

Answer 2

Данное неравенство является квадратным трехчленом относительно функции sin(x) и cos(x). Чтобы решить его, мы можем использовать методы анализа функций или преобразования квадратного трехчлена.

Анализ функций

Давайте рассмотрим функцию f(x) = 2sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) - 5cos^2(x). Чтобы понять, когда она положительна, отрицательна или равна нулю, мы можем проанализировать ее поведение на различных интервалах.

1. Рассмотрим интервал от 0 до 2π. На этом интервале sin(x) и cos(x) принимают значения от -1 до 1. Подставим эти значения в функцию f(x) и проанализируем ее знак: - При sin(x) = 1 и cos(x) = 1 получаем f(x) = 2 - 3 - 5 = -6, что отрицательно. - При sin(x) = -1 и cos(x) = -1 получаем f(x) = 2 - 3 - 5 = -6, что отрицательно. - При sin(x) = 1 и cos(x) = -1 получаем f(x) = 2 + 3 - 5 = 0, что равно нулю. - При sin(x) = -1 и cos(x) = 1 получаем f(x) = 2 + 3 - 5 = 0, что равно нулю. - При sin(x) = 0 и cos(x) = 0 получаем f(x) = 0, что равно нулю.

2. Рассмотрим интервалы, где sin(x) = 1 или sin(x) = -1. На этих интервалах функция f(x) принимает следующие значения: - При sin(x) = 1 получаем f(x) = 2 - 3cos(x) - 5cos^2(x). Здесь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x), которое можно решить и проанализировать его корни и знаки. - При sin(x) = -1 получаем f(x) = 2 + 3cos(x) - 5cos^2(x). Здесь также имеем квадратное уравнение относительно cos(x), которое можно решить и проанализировать его корни и знаки.

Преобразование квадратного трехчлена

Другой способ решить данное неравенство - это преобразовать его квадратный трехчлен в произведение двух линейных трехчленов. Для этого мы можем использовать формулу разложения квадратного трехчлена.

1. Разложим квадратный трехчлен 2sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) - 5cos^2(x) в произведение двух линейных трехчленов: - 2sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) - 5cos^2(x) = (asin(x) + bcos(x))(csin(x) + dcos(x)) - Раскроем скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях sin(x) и cos(x) в обоих частях равенства. - Решим полученную систему уравнений для a, b, c и d.

2. После разложения квадратного трехчлена в произведение двух линейных трехчленов, мы можем проанализировать знаки полученных линейных трехчленов и определить интервалы, на которых исходное неравенство выполняется.

Резюме

Чтобы решить данное неравенство 2sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) - 5cos^2(x) > 0, мы можем использовать методы анализа функций или преобразования квадратного трехчлена. Анализ функций позволяет нам определить интервалы, на которых функция положительна, отрицательна или равна нулю. Преобразование квадратного трехчлена в произведение двух линейных трехчленов позволяет нам определить интервалы, на которых исходное неравенство выполняется.