Question

При каком значении x значения выражений 2x+1, x+2 и 8−x будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Answer 1

Признак геометрической последовательности:

$> <img src=$

Answer 2

Для того чтобы значения выражений 2x+1, x+2 и 8−x были последовательными членами геометрической прогрессии, нужно, чтобы их отношения были равны.

Геометрическая прогрессия имеет вид: a, ar, ar^2, a*r^3, ... , где a - первый член, r - знаменатель прогрессии (отношение между членами).

Поэтому, условие для геометрической прогрессии будет:

(x + 2) / (2x + 1) = (8 - x) / (x + 2)

Теперь решим уравнение:

(x + 2) / (2x + 1) = (8 - x) / (x + 2)

Перемножим крест-накрест:

(x + 2) * (x + 2) = (2x + 1) * (8 - x)

Раскроем скобки:

x^2 + 4x + 4 = 16x - 2x^2 + 8 - x

Приведем подобные члены:

x^2 + 4x + 4 = -2x^2 + 15x + 8

Перенесем все в одну сторону:

x^2 + 4x + 2x^2 - 15x - 4 - 8 = 0

Упростим:

3x^2 - 11x - 12 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = -11, c = -12

D = (-11)^2 - 4 * 3 * (-12) = 121 + 144 = 265

Теперь найдем значения x, используя формулу для квадратных корней:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (11 ± √265) / 2 * 3

x = (11 ± √265) / 6

Таким образом, есть два значения x:

x₁ = (11 + √265) / 6 ≈ 2.47

x₂ = (11 - √265) / 6 ≈ -1.80

Теперь найдем соответствующие члены прогрессии:

1. При x₁ ≈ 2.47:

a₁ = 2x + 1 ≈ 2 * 2.47 + 1 ≈ 4.94 + 1 ≈ 5.94 a₂ = x + 2 ≈ 2.47 + 2 ≈ 4.47 a₃ = 8 - x ≈ 8 - 2.47 ≈ 5.53

Таким образом, при x₁ ≈ 2.47, значения 5.94, 4.47 и 5.53 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

2. При x₂ ≈ -1.80:

a₁ = 2x + 1 ≈ 2 * (-1.80) + 1 ≈ -3.60 + 1 ≈ -2.60 a₂ = x + 2 ≈ -1.80 + 2 ≈ 0.20 a₃ = 8 - x ≈ 8 - (-1.80) ≈ 9.80

Таким образом, при x₂ ≈ -1.80, значения -2.60, 0.20 и 9.80 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Итак, существует две последовательности геометрической прогрессии:

1. 5.94, 4.47, 5.53
2. -2.60, 0.20, 9.80