Question

Решить неравенстро cos4x cos2x+sin4x sin2x>0, 5

Answer 1

Cos(4x-2x)>0.5
cos2x>0.5
    2πn+π/3 > 2x>-π/3+2πn
π/6+πn> x>-π/6+πn

Answer 2

Для решения данного неравенства, вам нужно разбить его на две части, используя тригонометрические тождества:

1. cos(4x) cos(2x) > 0
2. sin(4x) sin(2x) > 0

Для первой части неравенства (1), используем тригонометрическое тождество cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:

cos(4x) cos(2x) = cos(4x) (2cos^2(x) - 1) = 2cos^2(4x) cos^2(x) - cos(4x)

Аналогично для второй части неравенства (2), используем тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x) cos(x):

sin(4x) sin(2x) = sin(4x) (2sin(x) cos(x)) = 2sin(4x) sin(x) cos(x)

Теперь у нас есть два неравенства:

1. 2cos^2(4x) cos^2(x) - cos(4x) > 0
2. 2sin(4x) sin(x) cos(x) > 0

Рассмотрим первое неравенство (1) сначала:

2cos^2(4x) cos^2(x) - cos(4x) > 0

Посмотрим на знак cos(4x). Чтобы упростить обозначение, заменим cos(x) на t:

2cos^2(4x) t^2 - cos(4x) > 0

Теперь разделим всю неравенство на t^2 (так как t = cos(x) ≠ 0):

2cos^2(4x) - 1 > 0

Заметим, что cos^2(4x) - 1 = -sin^2(4x), поэтому получим:

-2sin^2(4x) > 0

Умножим обе части на -1 (помните, что умножение на отрицательное число меняет знак неравенства):

2sin^2(4x) < 0

Так как sin^2(4x) ≥ 0 для любых значений x, то данное неравенство не имеет действительных решений.

Теперь рассмотрим второе неравенство (2):

2sin(4x) sin(x) cos(x) > 0

Можно заметить, что sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) = 4sin(x)cos(x)(1-2sin^2(x)), поэтому:

2sin(4x) sin(x) cos(x) = 8sin^2(x)cos^2(x)(1-2sin^2(x))

Теперь у нас есть:

8sin^2(x)cos^2(x)(1-2sin^2(x)) > 0

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. 8sin^2(x)cos^2(x) > 0: Данное неравенство верно для всех значений x, кроме x = kπ, где k - целое число.

2. 1-2sin^2(x) > 0: Данное неравенство также верно для всех значений x, кроме x = nπ + (π/4), где n - целое число.

Теперь объединим оба условия, чтобы неравенство выполнялось одновременно:

x ≠ kπ, nπ + (π/4)

где k и n - целые числа.

Итак, решение данного неравенства - это все значения x, кроме кратных π и значений, равных nπ + (π/4), где n - целое число.