Question

Парабола у=х^2+6х+с пересекает ось OY в точке с ординатой -10. Найдите наименьшее возможное значение а, при котором прямая у=а имеет хотя бы одну общую точку с этой параболой.

Answer 1

Если парабола пересекает ось OY в точке -10, значит c=-10 
y=x^2+6x-10 
y=a это прямая параллельная OX.
минимальное значение параболы выполняется в точке x=-6/2=-3 и y=-19, то есть при a>=-19 прямая будет иметь хотя бы 1 общую точку, откуда a=-19. 

Answer 2

Для того чтобы прямая у=а имела хотя бы одну общую точку с параболой у=х^2+6х+с, она должна касаться этой параболы. Касание прямой и параболы означает, что у них есть одна общая точка и одинаковый наклон в этой точке.

Для начала, найдем координаты точки касания параболы и прямой. Поскольку парабола пересекает ось OY в точке с ординатой -10, то когда х=0, у=-10. Таким образом, точка касания имеет координаты (0, -10).

Теперь возьмем произвольную точку (х, а) на прямой у=а. Чтобы прямая касалась параболы, её угловой коэффициент (производная) должен равняться угловому коэффициенту параболы в точке касания.

Угловой коэффициент прямой у=а равен а, а угловой коэффициент параболы у=х^2+6х+с равен производной от параболы по х в точке касания.

Найдем производную от у=х^2+6х+с: у' = 2х + 6.

Подставим х=0, чтобы найти угловой коэффициент параболы в точке касания: y' = 2*0 + 6 = 6.

Теперь уравняем угловые коэффициенты: а = 6.

Таким образом, для прямой у=а, чтобы она имела хотя бы одну общую точку с параболой у=х^2+6х+с, а должно быть равно 6.

Ответ: наименьшее возможное значение а, при котором прямая у=а имеет хотя бы одну общую точку с параболой у=х^2+6х+с, равно 6.