Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. 3 x 2+4y=0, 2x-4y-1=0

Answer 1

Рассмотрим уравнения: 3*х^2 + 4у = 0; пусть х = 0; тогда у = 0; или у = 3*х^2/4 - графиком является парабола, проходящая через начало координат. Второе уравнение представляет график функции - 4у = 2*х - 1. Тогда определим площадь плоской фигуры: по построению у двух графиков нет общей точки пересечения. Следовательно, определить площадь плоской фигуры ограниченной данными линиями невозможно.
Р.S. условие Вы написали правильно?!

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными кривыми, нужно найти точки их пересечения и затем использовать определенный метод интегрирования. Первым шагом я найду точки пересечения кривых.

1. Найдем точку пересечения кривых, решив систему уравнений: $\begin{cases} 3x^2 + 4y = 0 \\ 2x - 4y - 1 = 0 \end{cases}$

   Решим второе уравнение относительно $x$: $2x = 4y + 1$ => $x = \frac{4y + 1}{2} = 2y + \frac{1}{2}$

   Подставим это значение $x$ в первое уравнение: $3(2y + \frac{1}{2})^2 + 4y = 0$

   Упростим выражение и решим уравнение относительно $y$: $3(4y^2 + 2y + \frac{1}{4}) + 4y = 0$ $12y^2 + 6y + \frac{3}{4} + 4y = 0$ $12y^2 + 10y + \frac{3}{4} = 0$

   Решим квадратное уравнение. Применим формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 10^2 - 4 \cdot 12 \cdot \frac{3}{4} = 100 - 9 = 91$

   Теперь найдем корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{91}}{24}$

   Получим два значения $y_1$ и $y_2$.

2. Теперь найдем соответствующие значения $x_1$ и $x_2$ для каждого значения $y_1$ и $y_2$ с помощью второго уравнения: Когда $y = \frac{-10 + \sqrt{91}}{24}$: $x = 2 \cdot (\frac{-10 + \sqrt{91}}{24}) + \frac{1}{2} = \frac{-10 + \sqrt{91}}{12} + \frac{1}{2} = \frac{-10 + \sqrt{91} + 6}{12} = \frac{-4 + \sqrt{91}}{12} = \frac{-2 + \sqrt{91}}{6}$

   Когда $y = \frac{-10 - \sqrt{91}}{24}$: $x = 2 \cdot (\frac{-10 - \sqrt{91}}{24}) + \frac{1}{2} = \frac{-10 - \sqrt{91}}{12} + \frac{1}{2} = \frac{-10 - \sqrt{91} + 6}{12} = \frac{-4 - \sqrt{91}}{12} = \frac{-2 - \sqrt{91}}{6}$