Question

Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной заданными кривыми.Сделать чертеж области. y=x^3-2, x=0, y=x-6, x=2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x^3 - 2, x = 0, y = x - 6 и x = 2, мы должны найти точки их пересечения и затем интегрировать функцию, которая представляет разницу между кривыми.

1. Начнем с поиска точек пересечения: a. Пересечение между y = x^3 - 2 и y = x - 6: x^3 - 2 = x - 6

   Преобразуем уравнение: x^3 - x + 4 = 0

   Подходящее значение x для этого уравнения - x = 2.

   b. Пересечение между x = 0 и y = x - 6: x = 0 при y = -6.

   c. Пересечение между x = 2 и y = x - 6: x = 2 при y = -4.

Итак, у нас есть следующие точки пересечения: A(0, -6), B(2, -4) и C(2, 2).

2. Чтобы найти площадь между этими кривыми, мы можем использовать следующий интеграл:

   S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

   Где f(x) - это верхняя кривая (y = x^3 - 2), g(x) - это нижняя кривая (y = x - 6), a = 0 и b = 2 (наши точки пересечения).

3. Теперь мы интегрируем |f(x) - g(x)|:

   S = ∫[0, 2] |x^3 - 2 - (x - 6)| dx

   S = ∫[0, 2] |x^3 - x + 4| dx

4. Разделим этот интеграл на две части, так как функция внутри модуля меняется при x = 2:

   S = ∫[0, 2] (x - x^3 + 4) dx - ∫[0, 2] (-x + x^3 - 4) dx

5. Теперь вычислим оба интеграла:

   S = [x^2/2 - x^4/4 + 4x] (от 0 до 2) - [-x^2/2 + x^4/4 - 4x] (от 0 до 2)

   S = [(2^2/2 - 2^4/4 + 42) - (0 - 0 + 0)] - [(-2^2/2 + 2^4/4 - 42) - (0 - 0 + 0)]

   S = [2 - 4 + 8] - [-2 - 4 - 8]

   S = 6 + 14 = 20 квадратных единиц.

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна 20 квадратным единицам.