Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2, y=-x^2+2x и осью Ох

Answer 1

Решение: см.прикреплённый файл!

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2, y=-x^2+2x и осью Ох, нужно найти точки пересечения этих кривых и затем интегрировать разность функций по оси Ох на соответствующем интервале.

Для начала, найдем точки пересечения кривых y=x^2 и y=-x^2+2x:

Приравняем уравнения:

x^2 = -x^2 + 2x

Перенесем все в одну часть:

2x^2 - 2x = 0

Теперь факторизуем:

2x(x - 1) = 0

Таким образом, имеем два корня:

x = 0 и x = 1.

Теперь вычислим площадь между кривыми на интервале [0, 1].

Площадь равна интегралу разности функций y=x^2 и y=-x^2+2x по оси Ох на интервале [0, 1]:

Площадь = ∫[0, 1] (x^2 - (-x^2 + 2x)) dx

Площадь = ∫[0, 1] (2x^2 - 2x) dx

Вычислим интеграл:

∫(2x^2 - 2x) dx = (2/3)x^3 - x^2 + C

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(2/3)(1)^3 - (1)^2] - [(2/3)(0)^3 - (0)^2]

Площадь = (2/3 - 1) - (0 - 0) = 2/3 - 1 = -1/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2, y=-x^2+2x и осью Ох, равна -1/3 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь может быть отрицательной, так как кривые пересекаются, и одна из них находится выше другой на этом интервале.