Question

Найдите первообразную функции f(x)=4x^3 - 4x + 6, график которой проходит через точку А (1; 5)

Answer 1

F(x)=4x³-4x+6
F(x)=4x⁴/4-4x²/2+6x+C=x⁴-2x²+6x+C
5=1⁴-2·1²+6·1+C
5+C=5
C=0
F(x)=x⁴-2x²+6x

Answer 2

$F(x)= \int\limits {4x^{3}-4x+6} \, dx = x^{4}-2x^{2} +6x+C \\ A(1;5)\\ 5=1^{4}-2*1^{2} +6*1+C \\ C=0 \\ F(x)= x^{4}-2x^{2} +6x$

Answer 3

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 6$, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Затем, используя информацию о точке $A(1, 5)$, мы найдем конкретное значение постоянной интегрирования.

Итак, найдем первообразную функции $F(x)$ для $f(x)$:

F(x) &= \int (4x^3 - 4x + 6) \, dx \\ &= \int 4x^3 \, dx - \int 4x \, dx + \int 6 \, dx \\ &= \frac{4}{4} \int x^3 \, dx - 4 \int x \, dx + 6 \int 1 \, dx \\ &= x^4 - 2x^2 + 6x + C, \end{align*}\] где \(C\) - это произвольная постоянная интегрирования. Теперь, чтобы найти конкретное значение \(C\), используем информацию о точке \(A(1, 5)\): \[F(1) = 1^4 - 2\cdot 1^2 + 6\cdot 1 + C = 5.\] \[1 - 2 + 6 + C = 5.\] \[C = 5 - 1 + 2 - 6 = 0.\] Итак, конкретное значение постоянной интегрирования \(C = 0\). Таким образом, первообразная функции \(f(x) = 4x^3 - 4x + 6\) с условием прохождения через точку \(A(1, 5)\) равна: \[F(x) = x^4 - 2x^2 + 6x.\]