Question

Найдите значения a, при каждом из которых уравнение 64x^6+4x^2=(3x+a)^3+3x+a не имеет корней.

Answer 1

4x^2=c  
3x+a=b  
Тогда 
c^3+c=b^3+b  
c^3-b^3=-(c-b)   
(c-b)(c^2+cb+b^2)+(c-b)=0   
(c-b)(c^2+cb+b^2+1)=0 
{c=b 
{c^2+cb+b^2+1 = 0 
 c^2+cb+b^2=0  
 D=b^2-4b^2<0 
 Значит c^2+cb+b^2>0 
 Откуда c^2+cb+b^2+1>0 
 Значит  
 1)
 4x^2=3x+a 
 4x^2-3x-a=0 
 D=9+16a<0 
 a<-9/16 

Answer 2

Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы выражение под знаком радикала было меньше нуля. В данном случае, это выражение (3x + a)^3 + 3x + a. Запишем неравенство:

(3x + a)^3 + 3x + a < 0

Теперь рассмотрим выражение 64x^6 + 4x^2. Заметим, что оно всегда больше или равно нулю, так как является суммой квадратов и не содержит отрицательных коэффициентов.

Получается, что неравенство (3x + a)^3 + 3x + a < 0 будет выполняться только тогда, когда 3x + a < 0, то есть, когда x < -a/3.

Теперь давайте рассмотрим условие, чтобы уравнение 64x^6 + 4x^2 не имело корней. Для этого дискриминант должен быть меньше нуля:

D = 4^2 - 4 * 64 * (0 - a) < 0 16 + 256a < 0 256a < -16 a < -16/256 a < -1/16

Итак, получаем два условия:

1. a < -1/16
2. x < -a/3

Таким образом, уравнение не имеет корней при значениях a < -1/16 и соответствующих этим значениям x < -a/3.