Question

Применение метода поиска наибольшего и наименьшего значений функции через производную к решению прикладных задач: 1) Из всех прямоугольников с площадью 25 (см в кв.) найдите прямоугольник с наименьшим периметром. 2) Из всех прямоугольников с диагональю 18 см найдите прямоугольник наибольшей площади.

Answer 1

1) x-длина прямоугольника,y-ширина 
Площадь S=x*y=25⇒y=25/x
Периметр P=2*(x+y)-наименьшый
$P(x)=2*(x+ \frac{25}{x}) \\ P'(x)=2- \frac{50}{ x^{2} } =0 \\ 2 x^{2} =50 \\ x^{2} =25 \\ x_{1} =5 \\x_{2} =-5 \ \textless \ 0 \\ y= \frac{25}{x}= \frac{25}{5}=5 \\ P=2*(x+y)=2*10=20$
2)d=18
S=x*y→max

Answer 2

Для решения этих задач, мы будем использовать производную функции. Перед этим, давайте определим переменные для прямоугольников:

1. Пусть стороны прямоугольника с площадью S равны x и y (в см). Тогда у нас есть уравнение площади прямоугольника:

S = x * y

2. Пусть стороны прямоугольника с диагональю D равны x и y (в см). Тогда у нас есть уравнение диагонали прямоугольника:

D = √(x^2 + y^2)

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно найти производные этих уравнений по одной из переменных, приравнять их к нулю и найти соответствующие значения переменных x и y.

1. Найдем прямоугольник с наименьшим периметром из всех прямоугольников с площадью 25 (см^2).

Пусть периметр прямоугольника равен P:

P = 2x + 2y

Так как S = x * y, то у нас есть:

y = S / x

Теперь, выразим P через x:

P = 2x + 2(S / x)

Теперь найдем производную P по x:

dP/dx = 2 - 2(S / x^2)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x и y:

2 - 2(S / x^2) = 0

2 = 2(S / x^2)

x^2 = S

x = √S

Так как у нас S = 25 (см^2), то:

x = √25 = 5 (см)

y = S / x = 25 / 5 = 5 (см)

Таким образом, прямоугольник с наименьшим периметром и площадью 25 (см^2) имеет стороны 5 см и 5 см.

2. Найдем прямоугольник с наибольшей площадью из всех прямоугольников с диагональю 18 см.

Для этого используем уравнение диагонали:

D = √(x^2 + y^2)

Далее, выразим y через x из уравнения площади:

S = x * y

y = S / x

Теперь подставим это выражение в уравнение диагонали:

D = √(x^2 + (S / x)^2)

Найдем производную D по x:

dD/dx = (1/2) * (x^2 + (S / x)^2)^(-1/2) * (2x - 2(S^2 / x^3))

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x и y:

(1/2) * (x^2 + (S / x)^2)^(-1/2) * (2x - 2(S^2 / x^3)) = 0

2x - 2(S^2 / x^3) = 0

2x = 2(S^2 / x^3)

x^4 = S^2

x^2 = S

x = √S

Так как у нас D = 18 (см), то:

x = √18

y = S / x = 18 / √18 = √18

Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью и диагональю 18 см имеет стороны примерно 4.24 см и 4.24 см.