Question

Найти производную функции 1) y= (1/2+1)(2x-3) 2)y=корень х * cos x 3)y=(1/x+8)(5x-2) 4)y=корень х * sin x

Answer 1

$y=(\frac{1}{2}+1)(2x-3)= \frac{3}{2}(2x-3)\; ,\; y'=\frac{3}{2}\cdot 2=3\\\\y= \sqrt{x\cdot cosx}\; ,\; \; y'=\frac{1}{2\sqrt{x\cdot cosx}}\cdot (cosx-x\cdot sinx)\\\\y=(\frac{1}{x}+8)(5x-2)\; ,\; \; y'=-\frac{1}{x^2}(5x-2)+5(\frac{1}{x}+8) \\\\y=\sqrt{x\cdot sinx} \; ,\; y'= \frac{1}{2\sqrt{x\cdot sinx}}\cdot (sinx+x\cdot cosx)$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по переменной x:

1. y = (1/2 + 1)(2x - 3)

Раскроем скобки: y = (3/2)(2x - 3)

Теперь возьмем производную: dy/dx = d/dx [(3/2)(2x - 3)] dy/dx = (3/2) * d/dx (2x - 3) dy/dx = (3/2) * 2 dy/dx = 3

Ответ: производная функции y по x равна 3.

2. y = √x * cos(x)

Для нахождения производной произведения функций воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

dy/dx = d/dx (√x) * cos(x) + √x * d/dx (cos(x))

dy/dx = (1/2√x) * cos(x) + √x * (-sin(x)) dy/dx = cos(x)/(2√x) - √x * sin(x)

Ответ: производная функции y по x равна cos(x)/(2√x) - √x * sin(x).

3. y = (1/x + 8)(5x - 2)

Применим правило дифференцирования произведения:

dy/dx = d/dx (1/x + 8)(5x - 2) dy/dx = (d/dx (1/x + 8))(5x - 2) + (1/x + 8) * d/dx (5x - 2)

Теперь найдем производные каждой части:

d/dx (1/x + 8) = -1/x^2 d/dx (5x - 2) = 5

Подставим обратно:

dy/dx = (-1/x^2)(5x - 2) + (1/x + 8) * 5 dy/dx = (-5x + 2)/x^2 + (5/x + 40) dy/dx = -5x/x^2 + 2/x^2 + 5/x + 40 dy/dx = -5/x + 2/x^2 + 5/x + 40

Ответ: производная функции y по x равна -5/x + 2/x^2 + 5/x + 40.

4. y = √x * sin(x)

Применим правило дифференцирования произведения:

dy/dx = d/dx (√x) * sin(x) + √x * d/dx (sin(x))

dy/dx = (1/2√x) * sin(x) + √x * cos(x)

Ответ: производная функции y по x равна (1/2√x) * sin(x) + √x * cos(x).