Question

Sinx^4(x)+cos^4(x)=cos^2(2x)+1/4 Нужно подробно

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

$> <img src=$

Answer 3

Для начала, давайте докажем тождество:

$\sin^4(x) + \cos^4(x) = \cos^2(2x) + \frac{1}{4}$

Мы будем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать выражения и получить одинаковые формулы с обеих сторон равенства.

Начнем с левой стороны:

$\sin^4(x) + \cos^4(x)$

Сначала заменим $\cos^4(x)$ на $(1 - \sin^2(x))^2$, используя тригонометрическое тождество $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$\sin^4(x) + (1 - \sin^2(x))^2$

Теперь раскроем квадрат:

$\sin^4(x) + (1 - 2\sin^2(x) + \sin^4(x))$

Теперь объединим одинаковые слагаемые:

$2\sin^4(x) - 2\sin^2(x) + 1$

Теперь перепишем $\sin^2(x)$ как $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$, используя тригонометрическое тождество $\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))$:

$2\left(\frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\right) + 1$

Упростим это выражение:

$\frac{1}{2}(1 - \cos(2x))^2 - (1 - \cos(2x)) + 1$

Раскроем квадрат в первой скобке:

$\frac{1}{2}\left(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)\right) - (1 - \cos(2x)) + 1$

Теперь распределение и упрощение:

$\frac{1}{2} - \cos(2x) + \frac{1}{2}\cos^2(2x) - 1 + \cos(2x) + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{1}{2}\cos^2(2x) + \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим правую сторону равенства:

$\cos^2(2x) + \frac{1}{4}$

Теперь, чтобы доказать тождество, нужно показать, что левая и правая стороны равны друг другу. Мы видим, что это так:

$\frac{1}{2}\cos^2(2x) + \frac{1}{2} = \cos^2(2x) + \frac{1}{4}$

Таким образом, тождество $\sin^4(x) + \cos^4(x) = \cos^2(2x) + \frac{1}{4}$ доказано.