Question

Найдите производные функций а) y=4x б) y=2√x+3sin2x в) y=x*cosx г) y=tg²x д) y=(3x+5)/4

Answer 1

Решение
Найдите производные функций 
а) y=4x
y` = 4
б) y=2√x+3sin2x
y` = 2/(2√x) + 3 * 2* cos2x = 1/√x + 6*cos2x
в) y=x*cosx
y` = (x)` * cosx + x * (cosx)` = cosx - x*sinx
г) y=tg²x
y` = 2tgx * (1 / cos²x) = (2*sinx) / cos³x
д) y=(3x+5)/4 = 3x / 4 + 5/4
y` = (3/4) * x  + 5/4)` = 3/4 + 0 = 3/4

Answer 2

Для каждой функции найдем её производную:

а) y = 4x

Производная функции y по x равна просто коэффициенту при x, то есть:

dy/dx = 4

б) y = 2√x + 3sin(2x)

Применим правила дифференцирования:

dy/dx (2√x) = 2 * (1/2) * x^(-1/2) = x^(-1/2) = 1 / √x

dy/dx (3sin(2x)) = 3 * d/dx (sin(2x)) = 3 * cos(2x) * d/dx (2x) = 3 * cos(2x) * 2 = 6cos(2x)

Теперь сложим производные:

dy/dx = 1 / √x + 6cos(2x)

в) y = x * cos(x)

Применим правила дифференцирования произведения функций:

dy/dx (x) = 1

dy/dx (cos(x)) = -sin(x)

Теперь используем правило производной произведения функций:

dy/dx = x * (-sin(x)) + cos(x)

dy/dx = -x * sin(x) + cos(x)

г) y = tg²x (тангенс в квадрате)

Сначала выразим tg²x через тангенс:

tg²x = (sinx / cosx)² = sin²x / cos²x

Теперь найдем производную:

dy/dx (sin²x) = 2sinx * cosx

dy/dx (cos²x) = -2cosx * sinx

dy/dx (tg²x) = (2sinx * cosx) / (cos²x) = 2sinx / cosx = 2tanx

д) y = (3x + 5) / 4

Применим правила дифференцирования:

dy/dx (3x) = 3

dy/dx (5) = 0 (константа)

dy/dx (4) = 0 (константа)

Теперь используем правило производной суммы:

dy/dx = 3/4 + 0 - 0 = 3/4

Таким образом, производные данных функций равны:

а) dy/dx = 4

б) dy/dx = 1 / √x + 6cos(2x)

в) dy/dx = -x * sin(x) + cos(x)

г) dy/dx = 2tanx

д) dy/dx = 3/4