Question

Решите уравнение x^{2} +3x-\sqrt{x-2} = 10-\sqrt{x-2}

Answer 1

X-2>=0
x>=2
x^2+3x=10
x^2+3x-10=0
D=49
x=(-3+-7)/2=2; -5
-5>=2 не проходит
Ответ: 2

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала объединим все термины, содержащие квадратный корень, на одну сторону уравнения, а все остальные термины на другую сторону:

$x^{2} +3x - \sqrt{x-2} - (10 - \sqrt{x-2}) = 0$

Теперь объединим подобные слагаемые:

$x^{2} +3x - 10 = 0$

Уравнение стало квадратным. Чтобы решить его, можно использовать квадратное уравнение или даже попробовать применить факторизацию. Но для решения данного уравнения проще воспользоваться формулой дискриминанта.

Для квадратного уравнения вида $ax^{2} +bx + c = 0$, формула дискриминанта имеет вид:

$D = b^{2} - 4ac$

Далее, находим значение дискриминанта для нашего уравнения:

$D = (3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Теперь, исходя из значения дискриминанта, мы можем определить количество корней и их характер:

1. Если $D > 0$, то у уравнения два различных вещественных корня.
2. Если $D = 0$, то у уравнения есть один вещественный корень (он будет иметь кратность 2).
3. Если $D < 0$, то у уравнения нет вещественных корней, а есть два комплексных корня.

В нашем случае $D = 49 > 0$, поэтому у уравнения два различных вещественных корня.

Теперь, чтобы найти значения корней, мы используем общую формулу для решения квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Где $a = 1$, $b = 3$ и $D = 49$:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1}$

Таким образом, значения корней равны:

$x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поэтому уравнение имеет два корня: $x_{1} = 2$ и $x_{2} = -5$.