Question

Найти а при которых min y < 2 y=3*|x+a| + |x^2-x-2|

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для нахождения значения a, при котором минимальное значение y будет меньше 2, нужно проанализировать функцию y = 3*|x+a| + |x^2-x-2| и найти условия, при которых это выполняется.

Давайте разберемся с этой задачей. Первым шагом будет рассмотрение модулей:

1. Модуль |x+a| не ограничивает значение y, так как он может быть положительным или нулевым, и функция 3*|x+a| будет всегда больше или равна нулю.

2. Модуль |x^2-x-2| будет равен нулю при x = -1 и x = 2, и это может влиять на минимальное значение функции.

Теперь рассмотрим значение x, при котором y может быть минимальным. Поскольку мы хотим, чтобы y < 2, нам нужно, чтобы 3*|x+a| + |x^2-x-2| < 2.

Давайте рассмотрим случай, когда x находится в интервале между -1 и 2, то есть -1 < x < 2. В этом случае второй модуль |x^2-x-2| равен x^2-x-2, так как x находится внутри этого интервала.

Таким образом, у нас есть неравенство: 3*|x+a| + x^2-x-2 < 2.

Рассмотрим два варианта для первого модуля:

1. Если x + a >= 0, то |x+a| = x+a.

2. Если x + a < 0, то |x+a| = -(x+a).

Проанализируем оба случая:

1. Если x + a >= 0, то неравенство примет вид: 3*(x+a) + x^2-x-2 < 2.

2. Если x + a < 0, то неравенство примет вид: 3*(-x-a) + x^2-x-2 < 2.

Решим каждое из неравенств:

1. 3*(x+a) + x^2-x-2 < 2 Упростим: 3x + 3a + x^2 - x - 2 < 2 Переносим все в одну сторону: x^2 + 2x + 3a - 4 < 0

2. 3*(-x-a) + x^2-x-2 < 2 Упростим: -3x - 3a + x^2 - x - 2 < 2 Переносим все в одну сторону: x^2 - 4x - 3a - 4 < 0

Теперь рассмотрим дискриминант квадратных уравнений:

1. Для x^2 + 2x + 3a - 4 < 0 дискриминант D1 = 4 - 4(3a - 4) = 16 - 12a.

2. Для x^2 - 4x - 3a - 4 < 0 дискриминант D2 = 16 + 4(3a + 4) = 16 + 12a.

Мы хотим, чтобы оба неравенства имели решения, а значит, дискриминанты должны быть положительными:

1. 16 - 12a > 0 => a < 4/3.
2. 16 + 12a > 0 => a > -4/3.

Совмещая оба условия, получаем -4/3 < a < 4/3.

Итак, диапазон для значения a, при котором минимальное значение y будет меньше 2, это: -4/3 < a < 4/3.