Question

40 баллов Сократите дробь: 5²ⁿ⁺³×3ⁿ⁺⁵÷75ⁿ⁺²

Answer 1

$\frac{5^{2n + 3} * 3^{n + 5}}{75^{n + 2}} = \frac{5^{2n + 3} * 3^{n + 5}}{(5^2*3^1)^{n + 2}} = \frac{5^{2n + 3} * 3^{n + 5}}{5^{2(n+2)}* 3^{1(n+2)}}= \\ \\ = \frac{5^{2n + 3} * 3^{n + 5}}{5^{2n+4}*3^{n+2}}= 5^{2n+3-(2n+4)} * 3^{n+5-(n+2)} = \\ \\ =5^{2n+3-2n-4} * 3^{n+5-n-2} = 5^{-1}* 3^{3} = \frac{3^3}{5^1} = \\ \\ = \frac{27}{5} = 5.4$

Answer 2

Для сокращения данной дроби, нужно проанализировать выражение 5²ⁿ⁺³ × 3ⁿ⁺⁵ ÷ 75ⁿ⁺².

Для начала заметим, что 75 = 5 * 15, и 15 можно представить как 3 * 5.

Теперь преобразуем числитель дроби (5²ⁿ⁺³ × 3ⁿ⁺⁵):

5²ⁿ⁺³ = (5²)ⁿ × 5³ = 25ⁿ × 125 = 125 * 25ⁿ

3ⁿ⁺⁵ = 3⁵ × 3ⁿ = 243 * 3ⁿ

Подставляем в исходное выражение:

Числитель: 125 * 25ⁿ * 243 * 3ⁿ = 125 * 243 * 25ⁿ * 3ⁿ = 30,375 * 25ⁿ

Теперь преобразуем знаменатель (75ⁿ⁺²):

75ⁿ⁺² = (5 * 15)ⁿ⁺² = 5ⁿ⁺² × 15ⁿ⁺²

15ⁿ⁺² = (3 * 5)ⁿ⁺² = 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺²

Подставляем в исходное выражение:

Знаменатель: 5ⁿ⁺² × 3ⁿ⁺²

Теперь можем сократить дробь:

(Числитель) / (Знаменатель) = (30,375 * 25ⁿ) / (5ⁿ⁺² × 3ⁿ⁺²)

Так как 25 = 5², то 25ⁿ = (5²)ⁿ = 5^2ⁿ = 5^(2n).

Таким образом, окончательный ответ:

(30,375 * 5^(2n)) / (5^(n+2) * 3^(n+2))