Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=9-2x^2 y=9+4x

Answer 1

Находим границы фигуры как точки пересечения графиков заданных функций y=9-2x^2, y=9+4x.
9-2x^2 = 9+4x,
2x^2+4x = 0
2х(х + 2) = 0.
Отсюда получаем 2 точки: х = 0 и х = -2.
$S= \int\limits^0_{-2} {((9-2x^2)-(9+4x))} \, dx = \int\limits^0_{-2} {(-2x^2-4x)} \, dx =$ $-2* \frac{x^3}{3}-4* \frac{x^2}{2} |_{-2}^0 =0-( \frac{16}{3} -8)= \frac{8}{3} .$
Ответ: S =(8/3) кв.ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной двумя кривыми необходимо найти точки пересечения этих кривых и затем вычислить интеграл разности этих функций в пределах между найденными точками.

Для начала найдем точки пересечения кривых, то есть значения x, при которых y обоих функций равны друг другу:

Приравниваем уравнения: 9 - 2x^2 = 9 + 4x

Теперь приведем уравнение к каноническому виду и решим квадратное уравнение: 2x^2 + 4x = 0

Выносим общий множитель: 2x(x + 2) = 0

Таким образом, получаем два решения:

1. x = 0
2. x = -2

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого из найденных x:

1. При x = 0: y = 9 + 4(0) = 9

2. При x = -2: y = 9 + 4(-2) = 9 - 8 = 1

Таким образом, точки пересечения кривых имеют координаты (0, 9) и (-2, 1).

Теперь вычислим площадь фигуры между этими двуми кривыми. Для этого возьмем интеграл разности функций:

Площадь = ∫[от -2 до 0] (9 + 4x - (9 - 2x^2)) dx

Площадь = ∫[от -2 до 0] (4x + 2x^2) dx

Посчитаем этот интеграл:

∫ (4x + 2x^2) dx = 2x^2 + (2/3)x^3 + C

Теперь вычислим значение интеграла в пределах от -2 до 0:

Площадь = [2(0)^2 + (2/3)(0)^3] - [2(-2)^2 + (2/3)(-2)^3]

Площадь = 0 - [2(4) + (2/3)(-8)]

Площадь = 0 - [8 - 16/3]

Площадь = -8 + 16/3

Площадь = 16/3 - 8

Площадь = -8/3

Итак, площадь фигуры ограниченной кривыми y = 9 - 2x^2 и y = 9 + 4x равна -8/3 квадратных единиц.