Question

Сумма корней уравнения ctg4x+tg7x=0 на отрезке [0;2π] равна

Answer 1

Используем формулу  $tg \alpha -tg \beta = \dfrac{sin( \alpha - \beta )}{cos \alpha cos \beta }$
О.Д.З.: sin 4x ≠ 0 и cos 7x ≠ 0,
т.е.  $x \neq \frac{ \pi k}{4} , u\ x \neq \frac{ \pi }{14}+ \frac{ \pi k}{7} , k,n \in Z$
$tg 7x - tg( \frac{ \pi }{2}+4x) = 0$
$\dfrac{sin(7x- \frac{ \pi }{2}-4x)}{cos7xcos(\frac{ \pi }{2}+4x)}=0$
$sin(3x- \frac{ \pi }{2})=0$
cos 3x = 0
$3x= \frac{ \pi }{2} + \pi m$
$x= \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi m }{3}$
Отберем корни на отрезке [0; 2π]:
$0 \leq \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi m }{3} \leq 2 \pi \\ 0 \leq \frac{ 1 }{6} + \frac{ m }{3} \leq 2 \\ -1 \leq 2m \leq 11\\ =\ \textgreater \ m=0;1;2;3;4;5\\ =\ \textgreater \ x= \frac{ \pi }{6} ; \frac{ \pi }{2} ; \frac{7 \pi }{6} ; \frac{ 3\pi }{2} ; \frac{11 \pi }{6}$
Числа  $\frac{ \pi }{2} ; \frac{3\pi }{2}$ не удовл. О.Д.З.
Итак, сумма корней на [0; 2π]:  $\frac{ \pi }{6} + \frac{ 7\pi }{6} + \frac{11 \pi }{6} = \frac{19 \pi }{6}$
Ответ:  $\frac{19 \pi }{6}$

Answer 2

Для нахождения суммы корней уравнения на интервале [0, 2π], нужно решить уравнение ctg(4x) + tg(7x) = 0 и затем найти сумму всех корней на данном интервале.

По сути, у вас есть уравнение с двумя тригонометрическими функциями: ctg(4x) и tg(7x).

Давайте решим уравнение:

ctg(4x) + tg(7x) = 0

Сначала преобразуем tg(7x) в ctg(7x), чтобы иметь общую тригонометрическую функцию:

ctg(4x) + ctg(π/2 - 7x) = 0

Теперь объединим общий знаменатель:

(ctg(4x)(ctg(π/2 - 7x)) + ctg(π/2 - 7x)(ctg(4x))) = 0

2 * ctg(4x) * ctg(π/2 - 7x) = 0

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые могут привести к нулевому значению:

1. ctg(4x) = 0
2. ctg(π/2 - 7x) = 0

Решим первое уравнение:

ctg(4x) = 0

Так как ctg(x) = 1/tg(x), то ctg(4x) = 0 означает tg(4x) = ∞, что достигается при значении 4x = π * k, где k - любое целое число, кроме 0, чтобы избежать деления на 0.

Таким образом, для первого уравнения получаем:

4x = π * k, x = π * k / 4.

Решим второе уравнение:

ctg(π/2 - 7x) = 0

Так как ctg(x) = 1/tg(x), то ctg(π/2 - 7x) = 0 означает tg(π/2 - 7x) = ∞, что достигается при значении π/2 - 7x = π * n, где n - любое целое число, кроме 0, чтобы избежать деления на 0.

Таким образом, для второго уравнения получаем:

π/2 - 7x = π * n, 7x = π/2 - π * n, x = (π/2 - π * n) / 7.

Теперь найдем корни уравнения на интервале [0, 2π].

Для первого уравнения: x = π * k / 4, где k = 0, 1, 2, 3.

Для второго уравнения: x = (π/2 - π * n) / 7, где n = 1, 2, 3.

Подставим значения k и n, чтобы найти все корни на интервале [0, 2π]:

Для k = 0: x = π * 0 / 4 = 0

Для k = 1: x = π * 1 / 4 = π/4

Для k = 2: x = π * 2 / 4 = π/2

Для k = 3: x = π * 3 / 4 = 3π/4

Для n = 1: x = (π/2 - π * 1) / 7 = π/14

Для n = 2: x = (π/2 - π * 2) / 7 = 3π/14

Для n = 3: x = (π/2 - π * 3) / 7 = 5π/14

Теперь найдем сумму всех корней:

Сумма = 0 + π/4 + π/2 + 3π/4 + π/14 + 3π/14 + 5π/14

Сумма = (8π + 3π + 12π + 4π + 6π + 10π) / 28

Сумма = 43π / 28

Таким образом, сумма всех корней уравнения ctg(4x) + tg(7x) = 0 на интервале [0, 2π] равна 43π / 28.