Question

Решите уравнение 4sin^2x+8cosx+1=0.В ответе укажите наибольший отрицательный его корень:а).-p\6. б).-4p\3.в).-2p\3 г).-p\3

Answer 1

$4\sin^2x+8\cos x+1=0$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$4(1-\cos^2x)+8\cos x+1=0 \\\ 4-4\cos^2x+8\cos x+1=0 \\\ 4\cos^2x-8\cos x-5=0 \\\ D_1=(-4)^2-4\cdot(-5)=16+20=36 \\\ \cos x \neq \dfrac{4+6}{4} = 2.5\ \textgreater \ 1 \\\ \cos x =\dfrac{4-6}{4} = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\pm \dfrac{2 \pi }{3}+2\pi n, \ n\in Z$

Рассмотрим первую серию корней:
при n=0: $x= \dfrac{2 \pi }{3}$
при n=-1: $x= \dfrac{2 \pi }{3} - \pi = -\dfrac{4 \pi }{3}$
Получившийся корень -4п/3 - наибольший отрицательный корень этой серии.

Рассмотрим вторую серию корней:
при n=0: $x= -\dfrac{2 \pi }{3}$
при n=1: $x= -\dfrac{2 \pi }{3} + \pi =\dfrac{4 \pi }{3}$
Последний получившийся корень положительный, значит предыдущий корень -2п/3 - наибольший отрицательный корень этой серии.

Из двух корней -4п/3 и -2п/3 наибольшим является -2п/3.

Ответ: -2п/3

Answer 2

Для решения уравнения 4sin^2(x) + 8cos(x) + 1 = 0, давайте вначале преобразуем выражение:

4sin^2(x) + 8cos(x) + 1 = 0

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить sin^2(x) через cos(x):

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Отсюда:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Теперь подставим выражение для sin^2(x) в исходное уравнение:

4(1 - cos^2(x)) + 8cos(x) + 1 = 0

Раскроем скобки:

4 - 4cos^2(x) + 8cos(x) + 1 = 0

Теперь получившееся уравнение можно переписать в квадратном виде:

4cos^2(x) - 8cos(x) - 5 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где у нас a = 4, b = -8, c = -5:

D = (-8)^2 - 4 * 4 * (-5) = 64 + 80 = 144

Так как D положительный (D > 0), то у уравнения есть два действительных корня. Найдем корни уравнения:

cos(x) = (-b ± √D) / 2a

cos(x) = (8 ± √144) / 2 * 4

cos(x) = (8 ± 12) / 8

Теперь найдем два значения cos(x):

1. cos(x) = (8 + 12) / 8 = 20 / 8 = 5 / 2 (не подходит, так как |cos(x)| <= 1)

2. cos(x) = (8 - 12) / 8 = -4 / 8 = -1 / 2

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения -1/2. Правильный ответ - г). -π/3.