Question

докажите, что неравенство 5a ^ 2 + 12a-4ab + 4b ^ 2 + 9 больше равно 0 выполняется при всех значениях a и b

Answer 1

$\mathtt{5a^2+12a-4ab+4b^2+9=(a^2-4ab+4b^2)+(4a^2+12a+9)=}\\\mathtt{(a-2b)^2+(2a+3)^2\geq0}$

чтд

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нужно показать, что выражение $5a^2 + 12a - 4ab + 4b^2 + 9$ больше или равно нулю для всех значений $a$ и $b$.

Для этого рассмотрим выражение в качестве квадратного трёхчлена относительно переменной $a$:

$f(a) = 5a^2 + (12-4b)a + (4b^2 + 9)$

Чтобы определить, при каких значениях $a$ этот квадратный трёхчлен неотрицателен, дискриминант $D$ должен быть меньше или равен нулю, то есть $D \leq 0$.

Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 5$, $b = 12-4b$, и $c = 4b^2 + 9$.

$D = (12-4b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (4b^2 + 9)$

Раскроем скобки:

$D = 144 - 96b + 16b^2 - 80b^2 - 180$

Упростим:

$D = -64b^2 - 96b - 36$

Теперь нам нужно проверить, что $D \leq 0$ для всех значений $b$. Для этого найдём вершины параболы квадратного трёхчлена $D$, которая имеет форму $ax^2 + bx + c$. Вершина имеет координаты $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = f(x_v)$.

В нашем случае $a = -64$, $b = -96$. Найдем $x_v$:

$x_v = -\frac{-96}{2\cdot(-64)} = \frac{3}{4}$

Теперь найдём $y_v$:

$y_v = -64\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 96\left(\frac{3}{4}\right) - 36$

$y_v = -64\cdot\frac{9}{16} - 96\cdot\frac{3}{4} - 36$

$y_v = -\frac{144}{16} - \frac{288}{4} - 36$

$y_v = -9 - 72 - 36$

$y_v = -117$

Таким образом, вершина параболы $D$ находится в точке $\left(\frac{3}{4}, -117\right)$.

Теперь проверим, что значение $D$ не превосходит нуля на интервалах, где у него нет корней. Из вершины параболы $D$ видно, что у неё нет корней, так как её дискриминант отрицателен. Таким образом, $D \leq 0$ для всех значений $b$.

Следовательно, исходное неравенство $5a^2 + 12a - 4ab + 4b^2 + 9 \geq 0$ выполняется для всех значений $a$ и $b$.