Question

Решите пожалуйста! Разложить на множители:a^5+a+1

Answer 1

$a^5+a+1=a^5+a^4-a^4+a^3-a^3+a^2-a^2+a+1= \\ \\ a^3(a^2+a+1)-a^2(a^2+a+1)+(a^2+a+1)= \\ \\ (a^2+a+1)(a^3-a^2+1)$

Answer 2

Для того чтобы разложить выражение на множители, давайте сначала определимся, может ли оно быть разложено.

Выражение a^5 + a + 1 нельзя разложить на множители с рациональными коэффициентами, так как не имеет рациональных корней. Это следует из теоремы о рациональных корнях (рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами может быть только целым числом, которое делит свободный член).

Тем не менее, выражение может быть разложено на множители с комплексными корнями. Однако формула для нахождения корней пятой степени довольно сложна и не будет иметь простой формы, как для квадратного уравнения.

Таким образом, разложение на множители выглядело бы следующим образом:

a^5 + a + 1 = (a - r1)(a - r2)(a - r3)(a - r4)(a - r5)

где r1, r2, r3, r4 и r5 - комплексные корни данного уравнения.

Если вам нужно просто упростить выражение, вы можете использовать группировку:

a^5 + a + 1 = a(a^4 + 1) + 1

Таким образом, выражение не может быть разложено на множители с рациональными коэффициентами, но может быть представлено как произведение пятой степени с пятью комплексными корнями.