Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x-6)²(x+5)+1 на отрезке [1;15]

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Наименьшее значение функции Yнаим=1:), показано на графике функции во вложении(фото 1)

На второй фотографии сам график

Answer 3

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = (x - 6)^2(x + 5) + 1$ на отрезке $[1; 15]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции, которые могут находиться внутри интервала $[1; 15]$ или на его границах. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Оценить значение функции в найденных критических точках и на границах интервала $[1; 15]$.
3. Выбрать наименьшее значение из полученных.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = (x - 6)^2(x + 5) + 1$:

$y' = 2(x - 6)(x + 5) + (x - 6)^2.$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решив уравнение:

$2(x - 6)(x + 5) + (x - 6)^2 = 0.$

Раскроем квадрат и упростим уравнение:

$2(x^2 - x - 30) + (x^2 - 12x + 36) = 0,$

$2x^2 - 2x - 60 + x^2 - 12x + 36 = 0,$

$3x^2 - 14x - 24 = 0.$

Решим квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

$x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24)}}{2 \cdot 3},$

$x = \frac{14 \pm \sqrt{400}}{6},$

$x = \frac{14 \pm 20}{6}.$

Таким образом, получаем две критические точки:

$x_1 = \frac{34}{6} = \frac{17}{3} \approx 5.67$,

$x_2 = \frac{-6}{6} = -1.$

Шаг 3: Оценим значения функции $y$ в найденных критических точках и на границах интервала $[1; 15]$:

• Подставим $x = 1$ и $x = 15$ (границы интервала):

$y(1) = (1 - 6)^2(1 + 5) + 1 = 25 \cdot 6 + 1 = 151$.

$y(15) = (15 - 6)^2(15 + 5) + 1 = 81 \cdot 20 + 1 = 1621$.

• Подставим $x = \frac{17}{3}$ (первая критическая точка):

$y\left(\frac{17}{3}\right) = \left(\frac{17}{3} - 6\right)^2\left(\frac{17}{3} + 5\right) + 1 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 \cdot \frac{32}{3} + 1 = \frac{25 \cdot 32}{9} + 1 = \frac{800}{9} + 1 = \frac{809}{9} \approx 89.89$