Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПЖ ОЧЕНЬ НАДО 1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график y=4-2x-7x2 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке 3x5-20x3+9, [-10;-1]

Answer 1

y`=-2-14x

y`=0

-2-14x=0

-14x=2

x=-2/14=-1/7-экстремум функции

x∈(-∞;+∞)

y∈(-∞;4.143)

функция возрастает

x∈(-∞;-1/7)

функция убывает(-1/7;+∞)

2)ymax=26 x=-1

ymin=-279991 x=-10

Answer 2

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1. Исследование функции и построение графика: У нас дана функция y = 4 - 2x - 7x^2. Чтобы исследовать функцию, найдем ее производную и определим моменты, когда производная равна нулю, чтобы найти экстремумы. Также выясним поведение функции на бесконечности.

a) Найдем производную функции y по x: dy/dx = d/dx (4 - 2x - 7x^2) = -2 - 14x

b) Найдем точки, где производная равна нулю: -2 - 14x = 0 14x = -2 x = -2/14 x = -1/7

c) Найдем значение функции в этой точке: y = 4 - 2*(-1/7) - 7*(-1/7)^2 y = 4 + 2/7 - 1/49 y = (196 + 14 - 1)/49 y = 209/49

Теперь у нас есть точка экстремума (x = -1/7, y = 209/49). Для определения характера экстремума (максимум или минимум) исследуем знак производной в окрестности этой точки.

d) Исследуем знак производной в интервалах:

• Берем произвольную точку x1 из интервала (-∞, -1/7) (например, x1 = -1).
• Берем произвольную точку x2 из интервала (-1/7, +∞) (например, x2 = 0).

Вычислим значения производной в этих точках: dy/dx | x = -1 => -2 - 14*(-1) = -2 + 14 = 12 (положительное) dy/dx | x = 0 => -2 - 14*0 = -2 (отрицательное)

Мы видим, что производная меняет знак с "плюса" на "минус" в точке x = -1/7, что указывает на то, что у нас есть локальный максимум в этой точке.

e) Теперь построим график функции:

(Изображение графика)

На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке x = -1/7, y = 209/49.

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-10; -1]: У нас дана функция f(x) = 3x^5 - 20x^3 + 9, и нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-10; -1].

a) Найдем критические точки, где экстремумы могут находиться, и концы отрезка [-10; -1].

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (3x^5 - 20x^3 + 9) = 15x^4 - 60x^2

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 15x^4 - 60x^2 = 0 15x^2(x^2 - 4) = 0 x^2 = 0 или x^2 = 4

Это дает нам три критические точки: x = 0, x = -2 и x = 2.

b) Теперь вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка:

• f(-10) = 3*(-10)^5 - 20*(-10)^3 + 9 = -300000 + 20000 + 9 = -280991

• f(-1) = 3*(-1)^5 - 20*(-1)^3 + 9 = 3 + 20 + 9 = 32

• f(0) = 30^5 - 200^3 + 9 = 9

• f(-2) = 3*(-2)^5 - 20*(-2)^3 + 9 = -96 - 160 + 9 = -247

• f(2) = 32^5 - 202^3 + 9 = 192 - 160 + 9 = 41

c) Теперь найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-10; -1]: Максимум функции будет в точке x = -1, а минимум - в точке x = -2.

Наибольшее значение функции: f(-1) = 32. Наименьшее значение функции: f(-2) = -247.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-10; -1] равно 32, а наименьшее значение равно -247.