Question

CРОЧНО ОЧЕНЬ НАДООО ОЧЕНЬ Исследовать функцию на промежутки монотонности и экстремумы функции: f (x)=5x2-3x+1

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Хорошо, давайте исследуем функцию f(x) = 5x^2 - 3x + 1 на промежутки монотонности и экстремумы.

Для этого нам понадобятся производные функции. Сначала найдем первую производную (производную по x) и вторую производную:

1. Найдем первую производную f'(x): f'(x) = d/dx (5x^2 - 3x + 1) f'(x) = 10x - 3

2. Теперь найдем вторую производную f''(x): f''(x) = d/dx (10x - 3) f''(x) = 10

Теперь, чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы, проанализируем значения первой и второй производных.

1. Промежутки монотонности: Находим значения x, при которых f'(x) = 0: 10x - 3 = 0 10x = 3 x = 3/10

Теперь возьмем произвольные значения x из каждого из трех интервалов: (-бесконечность, 3/10), (3/10, +бесконечность) и проверим знак производной на этих интервалах.

Выберем x = 0 (меньше 3/10): f'(0) = 10 * 0 - 3 = -3 (отрицательное значение) Выберем x = 1 (больше 3/10): f'(1) = 10 * 1 - 3 = 7 (положительное значение)

Таким образом, на интервале (-бесконечность, 3/10) функция убывает, а на интервале (3/10, +бесконечность) функция возрастает.

2. Экстремумы: Экстремумы возникают там, где производная равна нулю или не существует. Мы уже вычислили значение x, при котором f'(x) = 0: x = 3/10

Теперь, чтобы определить, является ли это точка экстремума, проверим знак второй производной в этой точке.

f''(3/10) = 10 (положительное значение)

Так как вторая производная положительна в точке x = 3/10, то это значит, что у нас имеется локальный минимум в этой точке.

Итак, функция f(x) = 5x^2 - 3x + 1 монотонно возрастает на промежутке (3/10, +бесконечность) и убывает на промежутке (-бесконечность, 3/10). У неё есть локальный минимум в точке x = 3/10.