Question

Найти наибольшее наименьшее значение функции f(x)=x^3-9x^2+24x-1 на отрезке [-1;2]

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 1 на отрезке [-1;2], нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, которые могут быть локальными минимумами или максимумами. Это делается путем нахождения производной функции и решения уравнения f'(x) = 0.
2. Оцените значения функции в этих критических точках и на концах отрезка [-1;2].
3. Найдите наименьшее и наибольшее значение среди всех оцененных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 1

f'(x) = d/dx (x^3) - d/dx (9x^2) + d/dx (24x) - d/dx (1) f'(x) = 3x^2 - 18x + 24

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 - 18x + 24 = 0

Для решения квадратного уравнения, можно разделить все его члены на 3:

x^2 - 6x + 8 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

(x - 4)(x - 2) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 4 и x = 2.

Шаг 3: Оценим значения функции в критических точках и на концах отрезка [-1;2]:

f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 24(-1) - 1 = -1 + 9 - 24 - 1 = -17 f(2) = 2^3 - 9(2)^2 + 24(2) - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19 f(4) = 4^3 - 9(4)^2 + 24(4) - 1 = 64 - 144 + 96 - 1 = 15

Шаг 4: Найдем наименьшее и наибольшее значение среди всех оцененных значений:

Наименьшее значение: -17 Наибольшее значение: 19

Итак, наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 1 на отрезке [-1;2] равно -17, а наибольшее значение равно 19.