Question

Перевести комплексное число z=√2+√2i в тригонометрическую форму и возвести в степень z^10

Answer 1

$z^{10}=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i) ^{10 }=((\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{2}) ^5=(2+4i-2)^5=(4i)^5=\boxed{1024i}\\ \\ \\ z= \sqrt{2}+\sqrt{2}i=\boxed{2(cos\dfrac{\pi}{4}+i\cdot sin \dfrac{\pi}{4})} \\ |z|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} =2 \\ \phi=arctg\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =arctg (1)=\dfrac{\pi}{4}$

Answer 2

Чтобы перевести комплексное число z = √2 + √2i в тригонометрическую форму, нужно найти его модуль и аргумент.

1. Нахождение модуля (абсолютной величины) комплексного числа z: Модуль комплексного числа вычисляется по формуле |z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - действительная часть числа, Im(z) - мнимая часть числа.

Для z = √2 + √2i: Re(z) = √2 Im(z) = √2

|z| = √(√2^2 + √2^2) = √(2 + 2) = √4 = 2

2. Нахождение аргумента (угла) комплексного числа z: Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле arg(z) = arctan(Im(z) / Re(z)).

Для z = √2 + √2i: arg(z) = arctan(√2 / √2) = arctan(1) = π/4

Теперь комплексное число z = √2 + √2i в тригонометрической форме представляется как z = 2 * (cos(π/4) + i * sin(π/4)).

Теперь возведем z в степень 10, используя формулу для возведения комплексного числа в степень:

z^n = |z|^n * (cos(n * arg(z)) + i * sin(n * arg(z)))

Для z^10: n = 10

z^10 = 2^10 * (cos(10 * π/4) + i * sin(10 * π/4))

Вычислим значения cos(10 * π/4) и sin(10 * π/4):

cos(10 * π/4) = cos(5 * π/2) = 0 (cosine of odd multiples of π/2 is 0) sin(10 * π/4) = sin(5 * π/2) = 1 (sine of odd multiples of π/2 is 1)

Теперь заменим значения в формуле:

z^10 = 2^10 * (0 + i * 1) = 1024i

Таким образом, результат возведения комплексного числа z = √2 + √2i в степень 10 равен 1024i.