Question

Найдите общий вид первообразной для функции f(x): f(x)=1/cos^2x; F(-pi/4)=1

Answer 1

F(x) = tg x + C
F(-pi/4)=1 ⇒ tg(-pi/4) + C =1 ⇒ -1 +C = 1 ⇒ C = 2
Ответ: F(x) = tg x + 2.

Answer 2

Для того чтобы найти общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{1}{{\cos^2 x}}$, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Это можно сделать путем интегрирования $f(x)$ относительно переменной $x$.

F(x) &= \int f(x) \, dx \\ &= \int \frac{1}{{\cos^2 x}} \, dx \end{split}\] Для выполнения данного интеграла, воспользуемся тригонометрической подстановкой. Положим: \(u = \tan x\). Тогда \(du = \sec^2 x \, dx\). Теперь заменим \(dx\) и \(\cos^2 x\) в интеграле: \[\begin{split} F(x) &= \int \frac{1}{{\cos^2 x}} \, dx \\ &= \int \frac{1}{{\cos^2 x}} \cdot \frac{{\cos^2 x}}{{\cos^2 x}} \, dx \\ &= \int \frac{{\cos^2 x}}{{\cos^2 x}} \, dx \\ &= \int \frac{{1}}{{\cos^2 x}} \cdot \cos^2 x \, dx \\ &= \int \sec^2 x \, dx \\ &= \int du \\ &= u + C \end{split}\] Где \(C\) - постоянная интегрирования. Теперь заменим обратно переменные: \(u = \tan x\) \(F(x) = \tan x + C\) Теперь нам нужно найти значение константы \(C\). Для этого используем начальное условие \(F(-\frac{\pi}{4}) = 1\): \[\begin{split} F(-\frac{\pi}{4}) &= \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) + C \\ &= -1 + C \\ \end{split}\] По условию \(F(-\frac{\pi}{4}) = 1\), поэтому: \[-1 + C = 1 \implies C = 2\] Таким образом, общий вид первообразной для функции \(f(x) = \frac{1}{{\cos^2 x}}\) это: \[F(x) = \tan x + 2\]