Question

Сумма трех членов арифметической прогрессии равна 27, а их квадраты равны 275. Найти первого члена и разницу в арифметической прогрессии

Answer 1

Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом х и разностью d, состоящую из трех членов: х; x+d; x+2d. Исходя из условия задачи, получим уравнение x+(x+d)+(x+2d)=27.
Преобразуем его, получим  x+d=9. Значит, х=9-d.
Тогда все три члена прогрессии получат вид: 9-d; 9; 9+d.
Используем условие о сумме квадратов:
(9-d)²+9²+(9+d)²=275
81-18d+d²+81+81+18d+d²=275
2d²=32
d²=16 => d=-4 или d=4.
1) При d=-4 х=13
2) При d=4 x=5.
Ответ: 13; -4 или 5; 4.

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии через "а", а разницу между членами прогрессии через "d". Тогда третий член будет "а + 2d", так как это арифметическая прогрессия.

Условия задачи:

1. Сумма трех членов арифметической прогрессии равна 27: а + (а + d) + (а + 2d) = 27

2. Квадраты трех членов равны 275: а^2 + (а + d)^2 + (а + 2d)^2 = 275

Теперь распишем эти уравнения и решим их.

1. Сумма трех членов арифметической прогрессии равна 27: а + (а + d) + (а + 2d) = 27 3а + 3d = 27 а + d = 9 (Уравнение 1)

2. Квадраты трех членов равны 275: а^2 + (а + d)^2 + (а + 2d)^2 = 275 а^2 + (а^2 + 2ad + d^2) + (а^2 + 4ad + 4d^2) = 275 3а^2 + 6ad + 5d^2 = 275 3а^2 + 6ad + 5d^2 - 275 = 0 3а^2 + 6ad - 275 + 5d^2 = 0 (Уравнение 2)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (а и d). Мы можем решить их вместе. Используем Уравнение 1, чтобы выразить "а" через "d":

а = 9 - d

Теперь подставим это выражение в Уравнение 2:

3(9 - d)^2 + 6(9 - d)d - 275 + 5d^2 = 0

Теперь решим это уравнение и найдем значение "d":

27 - 18d + 3d^2 + 54d - 275 + 5d^2 = 0 8d^2 + 36d - 248 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

d^2 + 4.5d - 31 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного корня или любого другого метода решения квадратных уравнений. Найдем значение "d":

d ≈ 3.215

Теперь, используя Уравнение 1, найдем значение "а":

а + d = 9 а = 9 - d а = 9 - 3.215 а ≈ 5.785

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен примерно 5.785, а разница между членами прогрессии составляет примерно 3.215.