Question

В геометрии прогрессии с положительным знаменателем,Первый член больше второго на 8,а третий член равен 4.Найти пятый член этой прогрессии

Answer 1

Q>0     a₁-a₂=8   a₃=4   a₅-?
a₁-a₁q=8   a₁(1-q)=8
a₁q²=4       a₁q=4
Разделим первое уравнение на второе:
(1-q)/q²=2
1-q=2q²
2q²+q-1=0   D=9
q₁=1/2     q₂=-1 ∉
a₁*(1/2)²=4
a₁/4=4  |×4
a₁=16.  ⇒
a₅=a₁q⁴=16*(1/2)⁴=2⁴/2⁴=1.
Ответ: a₅=1.

Answer 2

Для геометрической прогрессии с положительным знаменателем общий вид формулы такой:

a_n = a_1 * r^(n-1),

где: a_n - n-й член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, r - знаменатель (отношение между соседними членами), n - номер члена прогрессии, который мы хотим найти.

У нас есть три условия:

1. Первый член больше второго на 8: a_1 = a_2 + 8,
2. Третий член равен 4: a_3 = 4.

Мы можем использовать эти условия, чтобы найти значения первого члена (a_1) и знаменателя (r). Затем мы можем найти пятый член (a_5) прогрессии.

Шаг 1: Найти a_1 и r.

Условие 1 гласит: a_1 = a_2 + 8. Так как a_2 = a_1 * r, мы можем записать это как: a_1 = a_1 * r + 8.

Шаг 2: Найти a_1 и r.

Выразим a_1 из первого уравнения: a_1 - a_1 * r = 8.

Факторизуем a_1: a_1(1 - r) = 8.

Теперь можем найти a_1: a_1 = 8 / (1 - r).

Шаг 3: Найти r.

Теперь используем условие 2: a_3 = 4. Зная формулу общего члена прогрессии, подставим значения: a_3 = a_1 * r^2.

Подставим выражение для a_1: 4 = (8 / (1 - r)) * r^2.

Теперь решим уравнение относительно r:

4 = 8r^2 / (1 - r).

Умножим обе стороны на (1 - r): 4(1 - r) = 8r^2.

Раскроем скобку: 4 - 4r = 8r^2.

Перепишем в квадратичной форме: 8r^2 + 4r - 4 = 0.

Шаг 4: Решить квадратное уравнение.

Используем формулу дискриминанта, где у нас у = 8, b = 4 и c = -4:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 8 * (-4) = 16 + 128 = 144.

Теперь находим значения для r, используя квадратное уравнение:

r = (-b ± √D) / 2a = (-4 ± √144) / (2 * 8) = (-4 ± 12) / 16.

Таким образом, есть два возможных значения для r: r_1 = 1 и r_2 = -1/2.

Шаг 5: Найти a_1.

Для каждого значения r найдем соответствующее значение a_1, используя одно из наших исходных уравнений.

a_1 = 8 / (1 - r).

a_1 для r_1 = 8 / (1 - 1) = 8 / 0 - не определено (так как знаменатель равен нулю).

a_1 для r_2 = 8 / (1 - (-1/2)) = 8 / (3/2) = 16/3.

Таким образом, у нас есть только одно допустимое значение для a_1, и это a_1 = 16/3.

Шаг 6: Найти a_5.

Теперь, когда у нас есть значения для a_1 и r, можем найти пятый член прогрессии (a_5):

a_5 = a_1 * r^(5-1) = (16/3) * (-1/2)^4 = (16/3) * (1/16) = 1.

Ответ: Пятый член данной геометрической прогрессии равен 1.