Question

Розв'яжіть нерівність 0,4^х(в стерні)>1 А) (0; безкінечність) Б) (мінус безкінечність; 0) В) (1; безкінечність) Г) ( мінус безкінечність; 1)

Answer 1

${0.4}^{x} > 1 \\ {0.4}^{x} > {0.4}^{0} \\ x < 0$
Б) (мінус безкінечність;0)

Answer 2

Давайте розв'яжемо дану нерівність:

0.4^x > 1

Для того, щоб розв'язати цю нерівність, спростимо її, звівши обидві сторони до тієї ж степені. Ми можемо помножити обидві сторони на 10^x, так як 10^x є додатним числом, і нерівність не змінить свого напрямку:

(0.4^x) * (10^x) > 1 * (10^x)

Тепер скористаємося властивостями степенів:

0.4^x * 10^x = (0.4 * 10)^x = 4^x

Таким чином, отримуємо:

4^x > 10^x

Тепер звернемо увагу, що нам необхідно порівняти числа 4^x і 10^x.

Можемо помітити, що 4^x = (2^2)^x = 2^(2x) та 10^x = (2 * 5)^x = 2^x * 5^x

Таким чином, отримуємо:

2^(2x) > 2^x * 5^x

Тепер, щоб дізнатися, за яких значень x ця нерівність виконується, розділимо обидві сторони на 2^x:

2^(2x) / 2^x > 5^x

Закони степенів дозволяють зведення 2^x у дробу:

2^(2x - x) > 5^x

2^x > 5^x

Тепер, цю нерівність можна розв'язати роздільно:

Якщо x > 0, то 2^x завжди буде більше 5^x, оскільки зсув вправо на x одиниць (тобто перехід від 5^x до 2^x) робить число більше, ніж удвічі менше. Тобто нерівність не має розв'язків на цьому проміжку.

Якщо x = 0, то отримуємо 2^0 = 1 і 5^0 = 1, тобто обидві частини рівні між собою, і нерівність також не виконується на цьому проміжку.

Якщо x < 0, то зсув уліво на x одиниць (тобто перехід від 2^x до 5^x) робить число менше, ніж удвічі більше. Тобто нерівність виконується на цьому проміжку.

Таким чином, відповідь на нерівність:

x < 0

Тобто правильна відповідь: Б) (мінус безкінечність; 0)