Question

Правила нахождения интервалов монотонности.Помогите пожалуйста . 3х^2-18х+1

Answer 1

1) Ищете производную; 
2) Если f'(x) ≥ 0, функция не убывает данном промежутке, если f'(x) ≤ 0, то не возрастает. Эти промежутки и есть интервалы монотонности. 
Вот и все. Рассмотрим Ваш пример: 
f(x) = 3x² - 18x + 1. 
f'(x) = 6x - 18. 
6x - 18 ≥ 0, т.е. x ≥ 3 - функция не убывает. 
x ≤ 3 - функция не возрастает. 
(Можно также говорить возрастает/убывает, но тогда надо концы интервалов не включаются: например, здесь если x > 3, то функция возрастает. Т.к. на самих концах функция не возрастает/не убывает, эти точки или включаются в оба промежутка, или нет, в зависимости от того, как Вы говорите: не убывает/не возрастает или возрастает/убывает). 

Ответ: функция не убывает: x ≥ 3, не возрастает: x ≤ 3. 

В данном случае с параболой можно было сделать проще. График этой параболы легко представить: это парабола ветвями вверх (a = 3 > 0), значит, до вершины функция убывает, после - возрастает. Ищем вершину: x₀ =  $\frac{-b}{2a} = \frac{18}{6} = 3.$ И ответ получаем точно такой же. Это объясняется тем, что, ища производную, мы нашли минимум функции (нулями производной может быть как минимум, так и максимум, надо смотреть на возрастание/убывание), который для параболы ветвями вверх и есть ее вершина. Таким образом, Вы можете смотреть по графику возрастание/убывание или искать с помощью производной (это универсальнее). 
Надеюсь, что помогла. :) Если что, задавайте вопросы в комментарии. 

Answer 2

Для определения интервалов монотонности функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции. Шаг 2: Решите уравнение производной равной нулю, чтобы найти критические точки. Шаг 3: Постройте таблицу знаков производной и определите интервалы, на которых она положительна и отрицательна. Шаг 4: Исследуйте функцию на критических точках и на краях области определения, чтобы найти экстремумы функции и точки перегиба. Шаг 5: Ответьте на вопрос о монотонности функции на каждом из интервалов.

Давайте выполним эти шаги для функции f(x) = 3x^2 - 18x + 1:

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx(3x^2 - 18x + 1) = 6x - 18.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 6x - 18 = 0 6x = 18 x = 3.

Шаг 3: Построим таблицу знаков производной:

markdownCopy code
x < 3   |   x > 3
-------------------
f'(x) < 0  |  f'(x) > 0

Шаг 4: Исследуем функцию на критической точке x = 3 и на краях области определения.

a) При x = 3: f(3) = 3 * 3^2 - 18 * 3 + 1 = 9 - 54 + 1 = -44.

b) Исследуем на краях области определения: Если функция задана на всей числовой прямой, то область определения не ограничена. Поскольку это квадратичная функция с положительным коэффициентом при x^2, она имеет минимум и не имеет максимума.

Шаг 5: Ответим на вопрос о монотонности функции на каждом из интервалов:

• Функция убывает на интервале (-∞, 3).
• Функция возрастает на интервале (3, +∞).

Таким образом, функция f(x) = 3x^2 - 18x + 1 убывает на интервале (-∞, 3) и возрастает на интервале (3, +∞).