Question

Y=3x2+12x найдите интервалы монотонности функции

Answer 1

Y=3x²+12x
y'=6x+12
y'>0;6x+12>0;6x>-12;x>-2
x€(-2;+бес) функция возрастает
у'<0;6х+12<0;х<-2
х€(-бес;-2) функция убывает

Answer 2

Для определения интервалов монотонности функции Y = 3x^2 + 12x, нужно проанализировать знак производной функции. Если производная положительна на каком-то интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция монотонно убывает. Интервалы, где производная равна нулю, могут быть точками экстремума функции.

Шаги для нахождения интервалов монотонности:

1. Найдем производную функции Y по переменной x: Y'(x) = d/dx (3x^2 + 12x)

2. Решим уравнение Y'(x) = 0, чтобы найти точки экстремума: 0 = 3x^2 + 12x 3x(x + 4) = 0

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = 0 и x = -4.

3. Теперь выберем тестовые точки в каждом из трех интервалов, которые образовались на числовой оси: x < -4, -4 < x < 0 и x > 0.

4. Подставим тестовые точки в производную Y'(x) и определим ее знак на каждом интервале:

• При x < -4: Выберем x = -5 (любое число меньше -4) Y'(-5) = 3(-5)(-5 + 4) = 3(-5)(-1) = 15 > 0

• При -4 < x < 0: Выберем x = -1 (любое число между -4 и 0) Y'(-1) = 3(-1)(-1 + 4) = 3(-1)(3) = -9 < 0

• При x > 0: Выберем x = 1 (любое число больше 0) Y'(1) = 3(1)(1 + 4) = 3(1)(5) = 15 > 0

Теперь можем сделать выводы:

• Функция Y монотонно возрастает на интервале (-∞, -4)
• Функция Y монотонно убывает на интервале (-4, 0)
• Функция Y монотонно возрастает на интервале (0, +∞)

Это означает, что функция Y сначала убывает до точки x = -4, а затем возрастает начиная с x = 0. Точка x = -4 является точкой локального минимума, а x = 0 - точкой локального максимума.