Question

Решить уравнение cos2x+3sin^2x+3sinx*cosx=0

Answer 1

$\cos2x+3\sin^2x+3\sin x\cos x=0 \\\ \cos^2x-\sin^2x+3\sin^2x+3\sin x\cos x=0 \\\ 2\sin^2x+3\sin x\cos x+\cos^2x=0 \\\ \dfrac{2\sin^2x}{\cos^2x}+\dfrac{3\sin x\cos x}{\cos^2x}+\dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}=0 \\\ 2\mathrm{tg}^2x+3\mathrm{tg}x+1=0 \\\ \mathrm{tg}x_1=-1 \Rightarrow x_1=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n, \ n\inZ \\\ \mathrm{tg}x_2=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow x_2=-\mathrm{arctg}\dfrac{1}{2} +\pi n, \ n\inZ$

Answer 2

Для решения данного уравнения относительно переменной x, давайте преобразуем его:

cos^2(x) + 3sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) = 0

Используем тригонометрические тождества для замены cos^2(x) и sin^2(x):

1 - sin^2(x) + 3sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) = 0

Теперь объединим слагаемые синусов:

1 + 2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) = 0

Далее, обозначим sin(x) за t:

1 + 2t^2 + 3t = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно переменной t. Решим его:

2t^2 + 3t + 1 = 0

Чтобы решить квадратное уравнение, мы можем использовать метод дискриминанта. Дискриминант D для данного уравнения равен:

D = b^2 - 4ac где a = 2, b = 3, c = 1.

D = 3^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Теперь найдем значения t, используя формулу для корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √D) / (2a)

t = (-3 ± √1) / (2 * 2)

t1 = (-3 + 1) / 4 = -2 / 4 = -0.5

t2 = (-3 - 1) / 4 = -4 / 4 = -1

Мы получили два значения t: -0.5 и -1. Теперь, чтобы найти соответствующие значения x, воспользуемся обратными тригонометрическими функциями:

1. sin(x) = -0.5 x = arcsin(-0.5) x = -π/6 + 2πk или x = 7π/6 + 2πk, где k - целое число.

2. sin(x) = -1 x = arcsin(-1) x = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, решения уравнения cos^2(x) + 3sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) = 0 относительно x:

x = -π/6 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk или x = -π/2 + 2πk, где k - целое число.