Question

Решите неравеество lg^2x-lgx^2>3

Answer 1

Lg²x-lgx²>3
ОДЗ: x>0

lg²x-2*lgx-3>0 логарифмическое квадратное неравенство, замена переменной:  lgx=t

t²-2t-3>0 метод интервалов:
1. t²-2t-3=0. t₁ =-1, t₂=3
2.  ++++++(-1)---------(3)+++++>t
3. t<-1, t>3

обратная замена:
1. t<-1, lgx<-1. -1=log₁₀10⁻¹=log₁₀(1/10)=lg0,1
lgx<lg0,1. основание логарифма а=10, 10>1 => знак неравенства не меняем
x<0,1
учитывая ОДЗ, получим: x∈(0; 0,1)

2. lgx>3. 3=log₁₀10³=log1000=lg1000
lgx>lg1000
x>1000

ответ: x∈(0; 0,1)∪(1000;∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства необходимо использовать свойства логарифмов. Начнем с рассмотрения каждого слагаемого отдельно.

Имеем неравенство: lg^2(x) - lg(x^2) > 3

Применим свойство логарифма lg(a) - lg(b) = lg(a/b):

lg^2(x) - lg(x^2) = lg(x^2/x^2) = lg(1) = 0

Теперь неравенство преобразуется к виду: 0 > 3

Очевидно, что 0 не больше 3, и, следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Итак, исходное неравенство lg^2(x) - lg(x^2) > 3 не имеет решений.