Question

Y^2=4x y=x Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Answer 1

Решение представлено на фотографии

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для вычисления площади между этими кривыми.

Исходные уравнения:

1. y^2 = 4x
2. y = x

Для начала найдем точки пересечения этих кривых. Подставим уравнение (2) в уравнение (1):

(x)^2 = 4x x^2 - 4x = 0

Теперь решим уравнение для x:

x(x - 4) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 4. Затем найдем соответствующие значения y, используя уравнение (2):

Для x = 0: y = 0 Для x = 4: y = 4

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (4, 4).

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, нам нужно интегрировать разность между кривыми по оси x от x = 0 до x = 4. Формула для вычисления площади между кривыми y = f(x) и y = g(x) на интервале [a, b] выглядит следующим образом:

Площадь = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

В нашем случае f(x) = √(4x) и g(x) = x, поэтому площадь можно вычислить следующим образом:

Площадь = ∫[0, 4] |√(4x) - x| dx

Для упрощения вычислений, разделим этот интеграл на два:

Площадь = ∫[0, 4] (√(4x) - x) dx - ∫[0, 4] (√(4x) - x) dx

Теперь найдем интегралы:

∫ (√(4x) - x) dx = (2/3) * x^(3/2) - (x^2)/2

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = [(2/3) * (4)^(3/2) - (4^2)/2] - [(2/3) * (0)^(3/2) - (0^2)/2]

Площадь = [(2/3) * 8 - 8] - [(2/3) * 0 - 0]

Площадь = [16/3 - 8] - [0 - 0]

Площадь = (16/3) - 8

Площадь = 16/3 - 24/3

Площадь = -8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y^2 = 4x и y = x, равна -8/3 (отрицательное значение площади может возникнуть из-за порядка кривых или выбора осей координат). Обычно площади не могут быть отрицательными, поэтому стоит перепроверить уравнения или заданные границы.