Question

Sin⁴ xcos² x-cos⁴ xsin² x=cos2x помогите решить уравнение

Answer 1

Sin⁴xCos²x - Cos⁴xSin²x = Cos2x

Sin²xCos²x(Sin²x - Cos²x) - Cos2x = 0

Sin²xCos²x * (- Cos2x) - Cos2x = 0

Cos2x(Sin²xCos²x + 1) = 0

Cos2x = 0 Sin²xCos²x + 1 = 0

2x = π/2 + πn , n ∈ z 1/4Sin²2x + 1 = 0

x = π/4 + πn/2 , n ∈ z Sin²2x = - 4 - решений нет

Ответ : π/4 + πn/2 , n ∈ z

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Уравнение: sin⁴(x)cos²(x) - cos⁴(x)sin²(x) = cos(2x)

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать это уравнение:

1. Используем тригонометрическое тождество для двойного угла: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Уравнение становится: sin⁴(x)cos²(x) - cos⁴(x)sin²(x) = cos²(x) - sin²(x)

2. Теперь преобразуем выражения синусов и косинусов с использованием тригонометрических тождеств: sin²(x) = 1 - cos²(x) и cos²(x) = 1 - sin²(x)

Уравнение теперь примет вид: sin⁴(x)(1 - sin²(x)) - (1 - sin²(x))sin²(x) = (1 - sin²(x)) - sin²(x)

3. Раскроем скобки и упростим уравнение: sin⁴(x) - sin⁴(x) - sin²(x) + sin⁴(x) = 1 - 2sin²(x)

4. Упростим ещё больше: sin⁴(x) - sin²(x) = 1 - 2sin²(x)

5. Теперь представим sin⁴(x) в виде (sin²(x))²: (sin²(x))² - sin²(x) = 1 - 2sin²(x)

6. Теперь заменим переменную, чтобы упростить уравнение: Пусть t = sin²(x)

Уравнение станет: t² - t = 1 - 2t

7. Приведем уравнение к квадратному виду: t² - t - 1 + 2t = 0

8. Объединим слагаемые: t² + t - 1 = 0

9. Решим квадратное уравнение. Можем воспользоваться квадратным уравнением вида at² + bt + c = 0, где a = 1, b = 1 и c = -1: t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

t = (-(1) ± √(1² - 4 * 1 * (-1))) / 2 * 1 t = (-1 ± √(1 + 4)) / 2 t = (-1 ± √5) / 2

Таким образом, у нас два возможных значения для t:

1. t = (-1 + √5) / 2

2. t = (-1 - √5) / 2

3. Вернемся к исходной переменной sin²(x):

4. sin²(x) = (-1 + √5) / 2

5. sin²(x) = (-1 - √5) / 2

6. Теперь найдем значения sin(x). Возможные значения будут корни из выражений выше:

7. sin(x) = √((-1 + √5) / 2)

8. sin(x) = √((-1 - √5) / 2)

Обратите внимание, что в уравнении могут быть дополнительные решения, так как мы использовали тригонометрические тождества и квадратное уравнение. Если у вас есть конкретный интервал значений x, на котором вы ищете решение, убедитесь, что проверите оба значения sin(x) в этом интервале, чтобы определить корни уравнения.