Question

Найдите корни многочлена: а) x^4-17x^2+16=0; б) x^4+15x^2-16+0; в) y^4-2y^3+y^2-36=0; г) y^4-y^2-4y-4=0.

Answer 1

а) x⁴-17x²+16=0;

Замена: х² = t, где t≥0, тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

D = 289-4·1·16=289-64=225=15²

t₁ = (17-15)/2= 2/2=1

t₂ = (17+15)/2= 32/2=16

Обратная замена:

1) х² = 1

х² - 1 = 0

(х-1)(х+1) = 0

х₁ = - 1; х₂ = 1

2) х² = 16

х² - 16 = 0

(х-4)(х+4) = 0

х₃ = -4; х₄ = 4

Ответ: {-4; -1; 1; 4}

б) x⁴+15x²-16+0;

Замена: х² = t, где t≥0, тогда уравнение примет вид:

t² + 15t - 16 = 0

D = 225-4·1·(-16)=225+64=289=17²

t₁ = (-15-17)/2= - 322/2= -16 < 0

t₂ = (- 15+17)/2= 2/2=1

Обратная замена только t = 1:

х² = 1

х² - 1 = 0

(х-1)(х+1) = 0

х₁ = - 1; х₂ = 1

Ответ: {-1; 1}

в) y⁴-2y³+y²-36=0;

(y⁴-2y³+y²) -36=0;

((y²)² - 2·y²·y + y²) - 6² = 0

(y²-y)² - 6² = 0

Применим формулу разности квадратов: a²-b²=(a-b)(a+b).

(y²-y - 6)(y²-y + 6) = 0

Получаем два квадратных уравнения:

y²-y - 6 = 0; и y²-y + 6 = 0

Решаем первое.

y²-y - 6 = 0;

По теореме Виета у₁ = 3; у₂ = - 2

Решаем второе.

y²-y + 6 = 0;

D = 1 - 4·1·6 = 1 -24 = - 23 <0 корней нет

Ответ: {-2; 3}

г) y⁴ - y²- 4y-4 = 0

y⁴ - (y² + 4y+4) = 0

(у²)² - (y+2)² = 0

Применим формулу разности квадратов: a²-b²=(a-b)(a+b).

(у² - (у+2)) · (у²+у+2) = 0

(у² - у-2) · (у²+у+2) = 0

Получаем два квадратных уравнения:

y²- y - 2 = 0; и y²+ y + 2 = 0

Решаем первое.

y²- y - 2 = 0;

По теореме Виета у₁ = -1; у₂ = 2

Решаем второе.

y² + y + 2 = 0;

D = 1 - 4·1·2 = 1 -8 = - 7 <0 корней нет

Ответ: {-1; 2}

Answer 2

Давайте найдем корни каждого из заданных многочленов:

а) x^4 - 17x^2 + 16 = 0

Мы можем решить этот квадратный трехчлен, используя замену: пусть t = x^2, тогда уравнение примет вид t^2 - 17t + 16 = 0.

Теперь решим это уравнение:

t^2 - 17t + 16 = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

(t - 1)(t - 16) = 0

Таким образом, получаем два значения t: t = 1 и t = 16.

Теперь найдем значения x, используя обратную замену:

Для t = 1: x^2 = 1 x = ±√1 x = ±1

Для t = 16: x^2 = 16 x = ±√16 x = ±4

Ответ: корни многочлена x^4 - 17x^2 + 16 = 0: x = ±1 и x = ±4.

б) x^4 + 15x^2 - 16 = 0

Для этого уравнения мы не можем использовать ту же замену, которую использовали в предыдущем примере. Вместо этого, давайте рассмотрим многочлен как квадратный трехчлен относительно x^2:

Пусть t = x^2, тогда уравнение примет вид t^2 + 15t - 16 = 0.

Теперь решим это уравнение:

t^2 + 15t - 16 = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

(t + 16)(t - 1) = 0

Таким образом, получаем два значения t: t = -16 и t = 1.

Теперь найдем значения x, используя обратную замену:

Для t = -16: x^2 = -16 Это уравнение не имеет решений в вещественных числах.

Для t = 1: x^2 = 1 x = ±√1 x = ±1

Ответ: корни многочлена x^4 + 15x^2 - 16 = 0: x = ±1.

в) y^4 - 2y^3 + y^2 - 36 = 0

Давайте попробуем проанализировать этот многочлен. Мы можем попробовать факторизовать его или применить другие методы, но, на первый взгляд, он не выглядит факторизуемым. Похоже, нам нужно использовать численные методы для приближенного нахождения корней.

Однако я могу подсказать, что у этого уравнения есть один целочисленный корень, а именно y = 4. Подставляя y = 4, убеждаемся, что левая часть становится равной нулю.

Таким образом, один из корней многочлена y^4 - 2y^3 + y^2 - 36 = 0: y = 4.

г) y^4 - y^2 - 4y - 4 = 0

Для этого уравнения также замечаем, что оно не факторизуемо с помощью целых чисел. Попробуем численные методы для приближенного нахождения корней.

С помощью численных методов можно найти, что у этого уравнения два действительных корня, приближенно равные y ≈ -1.42 и y ≈ 2.91.

Ответ: приближенные действительные корни многочлена y^4 - y^2 - 4y - 4 = 0: y ≈ -1.42 и y ≈ 2.91.

Заметьте, что для некоторых многочленов может быть достаточно сложно или даже невозможно найти аналитические решения, и в таких случаях приходится использовать численные методы для приближенного нахождения корней.