Question

Решить дифференциальное уравнение y'' +2 y'=0

Answer 1

$y''+2y'=0\\\\k^2+2k=0\; ,\; \; k(k+2)=0\; ,\; \; k_1=0\; ,\; k_2=-2\\\\y_{oo}=C_1\cdot e^{0\cdot x}+C_2\cdot e^{-2x}\\\\y_{oo}=C_1+C_2\cdot e^{-2x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала найдем общее решение. Для этого предположим, что y имеет вид y(x) = e^(mx), где m - неизвестная константа, а e - основание натурального логарифма.

1. Найдем производные y'(x) и y''(x) от функции y(x): y(x) = e^(mx) y'(x) = m * e^(mx) (производная e^(mx) равна m * e^(mx) по правилу дифференцирования элементарных функций) y''(x) = m^2 * e^(mx) (производная m * e^(mx) равна m^2 * e^(mx) по тому же правилу)

2. Подставим полученные значения y'(x) и y''(x) в исходное уравнение: m^2 * e^(mx) + 2 * m * e^(mx) = 0

3. Вынесем общий множитель e^(mx): e^(mx) * (m^2 + 2m) = 0

4. Для того чтобы произведение равнялось нулю, должно выполняться одно из двух условий: a) e^(mx) = 0 (но это невозможно, так как экспонента никогда не обращается в ноль) b) m^2 + 2m = 0

5. Решим квадратное уравнение m^2 + 2m = 0: m(m + 2) = 0 Таким образом, получаем два корня: m1 = 0 m2 = -2

Теперь имеем два линейно независимых решения дифференциального уравнения: y1(x) = e^(0x) = e^0 = 1 y2(x) = e^(-2x)

Так как исходное дифференциальное уравнение является линейным, общее решение можно представить в виде: y(x) = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)

где C1 и C2 - произвольные константы.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения: y(x) = C1 + C2 * e^(-2*x)

где C1 и C2 - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий, если они предоставлены.