Question

Найти остаток от деления 33^35 на 15

Answer 1

Преобразуем:

$33^{35}=(3 \cdot 11)^{35}=3^{35}\cdot11^{35}\\ \dfrac{3^{35}\cdot11^{35}}{15}=\dfrac{3^{35} \cdot 11^{35}}{3 \cdot 5}=\dfrac{3^{34}\cdot11^{35}}{5}$

Чтобы найти остаток от деления, нам нужно узнать, какой цифрой оканчивается произведение $3^{34}\cdot 11^{35}$. Очевидно, что число $11^{35}$ оканчивается на 1, так как 1 в любой степени равняется 1. Для числа 3 найдем закономерность:

$3^0=\boxed1\\ 3^1=\boxed3\\ 3^2=\boxed9\\ 3^3=2\boxed7\\ 3^4=8\boxed1\\ 3^5=24\boxed3\\ 3^6=72\boxed9\\ 3^7=218\boxed7\\ ...$

и т.д. Значит число $3^{34}$ оканчивается на цифру 9, тогда остаток от деления получаем (9·1)/5 ⇒ ост. 4

Теперь умножим остаток на 3, которую мы сократили при преобразованиях 4·3=12

Ответ: 12

Answer 2

Для нахождения остатка от деления большого числа на другое число можно воспользоваться свойством остатков от деления и алгоритмом возведения в степень по модулю.

Свойство остатков от деления гласит: (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

И алгоритм возведения в степень по модулю работает следующим образом:

1. Если степень n равна 0, вернуть 1.
2. Если степень n четная, рекурсивно вызвать функцию для (a, n / 2) и вернуть результат, возведенный в квадрат по модулю m: ((a^(n/2)) % m)^2 % m.
3. Если степень n нечетная, рекурсивно вызвать функцию для (a, n - 1), и вернуть результат, умноженный на a по модулю m: (a % m) * (a^(n-1) % m) % m.

Теперь применим алгоритм для нашей задачи:

a = 33 n = 35 m = 15

1. 35 - нечетное число, поэтому рекурсивно вызываем функцию для (33, 34) и умножаем результат на 33 по модулю 15.

2. 34 - четное число, рекурсивно вызываем функцию для (33, 17) и возводим результат в квадрат по модулю 15.

3. 17 - нечетное число, рекурсивно вызываем функцию для (33, 16) и умножаем результат на 33 по модулю 15.

4. 16 - четное число, рекурсивно вызываем функцию для (33, 8) и возводим результат в квадрат по модулю 15.

5. 8 - четное число, рекурсивно вызываем функцию для (33, 4) и возводим результат в квадрат по модулю 15.

6. 4 - четное число, рекурсивно вызываем функцию для (33, 2) и возводим результат в квадрат по модулю 15.

7. 2 - четное число, рекурсивно вызываем функцию для (33, 1) и возводим результат в квадрат по модулю 15.

8. 1 - это базовый случай рекурсии, возвращаем 33 % 15 = 3.

Теперь последовательно перемножим все результаты и возьмем остаток от деления на 15:

3^2 % 15 = 9 9^2 % 15 = 6 6^2 % 15 = 6 6^2 % 15 = 6 6^2 % 15 = 6

Таким образом, остаток от деления 33^35 на 15 равен 6.