Question

Найти все значения p из условия, что корнями уравнения: x^4-10x^3+37x^2+px+q = 0 являются две пары равных между собой чисел.

Answer 1

По формуле Виета , если a,b,c,d корни то по условию a=b, c=d тогда

{2a+2c=10

{a^2+4ac+c^2=37

{2a^2c+2ac^2=-p

{a^2c^2=q

a(5-a)=6

a^2-5a+6=0

a=2 и a=3

c=3 и c=2

p=-60

q=36

То есть при p=-60

Корни (2,2,3,3)

Answer 2

Для данного уравнения с четырьмя корнями, чтобы две пары из этих корней были равны между собой, у нас должны быть два различных корня, которые повторяются. Если a и b - корни, повторяющиеся дважды, и c и d - другие повторяющиеся корни, то у нас есть следующее:

(x - a)^2(x - b)^2 = (x - c)^2(x - d)^2

Развернем квадраты:

(x^2 - 2ax + a^2)(x^2 - 2bx + b^2) = (x^2 - 2cx + c^2)(x^2 - 2dx + d^2)

Теперь разложим уравнение на множители и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1. При x^4: 1 = 1

2. При x^3: -2a - 2b = -2c - 2d a + b = c + d

3. При x^2: a^2 + b^2 - 2ab = c^2 + d^2 - 2cd

4. При x^1: -2a^2b - 2ab^2 + ab(a + b) = -2c^2d - 2cd^2 + cd(c + d) -2ab(a^2 + b^2) + ab(a + b) = -2cd(c^2 + d^2) + cd(c + d)

5. При x^0: a^2b^2 = c^2d^2

Из уравнения 1 следует, что a^2 + b^2 = c^2 + d^2.

Из уравнения 2 следует, что a + b = c + d. Это может быть выполнено двумя способами:

a = c и b = d, или a = d и b = c.

В первом случае имеем:

a^2 + b^2 = a^2 + b^2, 0 = 0.

Второе уравнение не дает нам никакой дополнительной информации.

Во втором случае имеем:

a^2 + b^2 = b^2 + a^2, 0 = 0.

Вновь получаем нулевое уравнение, что не дает дополнительной информации.

Таким образом, независимо от значений a, b, c и d, у нас нет дополнительных ограничений на коэффициенты p и q. Корни уравнения могут быть любыми значениями a, b, c и d, при условии, что они образуют две пары равных между собой чисел. Таким образом, p может быть любым числом.